257 ile bölünebilme

[Lokman Gökçe]

1. aşama sınavına uygun ve nispeten zor bir problem sunalım:

[geo]

(257,19)=1 olduğu için 257 hiçbir zaman 19'un bir kuvvetini bölmez.

[Lokman Gökçe]

19^n2+8n+135 + 1 olacaktı. (yazım yanlışı yapmışım)

[Icosagon]

257 asal olduğu için fermat teoreminden 19²⁵⁶=1(mod257) dır. 19¹²⁸=a(mod257) olsa a²=1(mod257) a=1,-1(mod257) bulunur. Eğer x²=19(mod257)denkleminin çözümü olursa x²⁵⁶=1=19¹²⁸(mod257) olur.  x²=19(mod257) denkleminin çözümü olmadığını gösterelim . 257=4k+1 olduğu için bu denklemin çözümü varsa x²=257=10(mod19) denkleminin de çözümü vardır. Fakat bu denklemin çözümü olmadığı için x²=19(mod257) denkleminin de çözümü yoktur. yani 19¹²⁸=-1(mod257) bulunur. n²+8n+135=256k+128  olmalıdır
n²+8n+7=256k  (n+7)(n+1)=256k denkleminin 256dan küçük 4 çözümü vardır bunlar 255,127,249,121