Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: noproblem - Temmuz 31, 2011, 01:29:03 öö

Başlık: 3 polinom sorusu
Gönderen: noproblem - Temmuz 31, 2011, 01:29:03 öö

....

Başlık: Ynt: 3 polinom sorusu
Gönderen: senior - Temmuz 31, 2011, 05:11:20 öö

Soru 1: P(x) = A(x)B(x) olsun. Son katsayı 3 olduğu için bu polinomlardan birisinin sabit terimi 3, diğerinin ki 1 olmalı.
A(x) = .. a1x + 3 ve B(x) = ... b1x + 1 olsun
A(x)B(x) = ... + x(3b1 + a1) + 3 = xⁿ+5x^n-1+3 --> Yani 3b1+a1 = 0, yani a1 = 0 (mod 3)
Benzer şekilde 2.dereceden kısmın katsayısına bakalım:
A(x) = ... a₂x² + a₁x + 3
B(x) = ... b₂x² + b₁x + 1
A(x)B(x) = ... (a₂ + a₁b₁ + 3b₂ )x² + ...
Polinom eşitliğinden a₂ + a₁b₁ + 3b₂ = 0 yani a₂ = 0 (mod 3)
Benzer şekilde 3,4,... inci dereceler için de eşitliği yazar isek a_k = 0 (mod 3) bulunur çünkü x^k'yi yazarken, bir eleman
A(x)'den bir eleman B(x)'den seçerek çarpıyoruz ve o ana kadar bilmediğimiz tek elaman a_k. Ondan öncekilerin 3'e bölünebildiğini biliyoruz. Demek ki a_k'da 3'e bölünmek zorunda. Tabi ki bu konvansiyon derece n-1'e kadar geçerli çünkü asıl polinomun (n-1). derecedeki terimi 0 yerine 5, ve 3'e bölünmüyor. Yani
A(x) = ... + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + 3
B(x) = ... + b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + ... + 1
A(x)B(x) = ... + (a_n-1+3b_n-1 + a_n-2b₁ ... )
Zaten a_k = 0 (mod 3) bütün k < n-1 için doğru olduğunu biliyoruz. O zaman
a_n-1 = 5 (mod 3), yani a_n-1 0 değil. O zaman çarpanlardan birisi kesinlikle en az n-1. dereceden...
Şimdi bunu kontrol edelim: Eğer çarpanlardan birisi en az n-1. dereceden ise
xⁿ+5x^n-1+3 = (x+k)(x^n-1+...+3) olmalı, buradan k = 1 olmak zorunda. Ama o zaman x^n-1'in katsayısı 5 olmuyor. Yani böyle bir çarpanlara ayırma söz konusu değil. O zaman en büyük çarpanın derecesi n olmak zorunda. Yani ifade derecesi 1 ve 1'den büyük iki polinomun çarpımı olarak yazılamaz.

Not: Sonradan farkettim, ilk satırda belirttiğim sabit terimi 3 ve 1 olmalı cümlesi aslında +- 3 ve +- 1 olmalı olacak. Ama çözümde eksilerden başka birşey değişmiyor.