Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 18

[matematikolimpiyati]

Üçer kişilik üç aileden oluşan dokuz kişi, üç odaya, her birine üç kişi olmak üzere, rasgele girerler. Tam olarak bir ailenin bireylerinin aynı odaya girmiş olması ve diğer iki odadan hiçbirinde tam bir ailenin bulunmaması olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{27}{140}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{28}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{27}{280}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{9}{140}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{7}$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$9$ kişi $3$ odaya $\dbinom{9}{3}\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3} = \dfrac {9!}{3!3!3!} = 8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 $ şekilde yerleştirilir.

Ailelerin adları $A$, $B$, $C$ olsun.
$A$ ailesi $1.$ odaya girsin. Diğer $6$ kişi, diğer $2$ odaya $\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3}$ şekilde girer.
$B$ ailesi $2.$ odaya girdiyse, $C$ ailesi $3.$ odaya girmiş demektir. Tersi $C$ ailesi $2.$ odaya girmişse $B$ ailesi $3.$ odaya girmiş demektir.
$\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3} - 2 = 18$ şekilde $A$ ailesi $1.$ odaya girmiş, $2.$ ve $3.$ odalardan hiçbirisinde tüm bireyler aynı aileye mensup değildir.
Benzer işlemleri $B$ ailesi $1.$ odaya girdiğinde veya $C$ ailesi $1.$ odaya girdiğinde tekrarlayabiliriz. Bu durumda $3\cdot 18 = 54$ şekilde sorudaki gibi bir dağılım yapılabilir.
O halde $P = \dfrac {54}{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = \dfrac {9}{8\cdot 7 \cdot 5} = \dfrac {9}{280}$.