Yanıt: $\boxed C$
$9$ kişi $3$ odaya $\dbinom{9}{3}\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3} = \dfrac {9!}{3!3!3!} = 8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 $ şekilde yerleştirilir.
Ailelerin adları $A$, $B$, $C$ olsun.
$A$ ailesi $1.$ odaya girsin. Diğer $6$ kişi, diğer $2$ odaya $\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3}$ şekilde girer.
$B$ ailesi $2.$ odaya girdiyse, $C$ ailesi $3.$ odaya girmiş demektir. Tersi $C$ ailesi $2.$ odaya girmişse $B$ ailesi $3.$ odaya girmiş demektir.
$\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3} - 2 = 18$ şekilde $A$ ailesi $1.$ odaya girmiş, $2.$ ve $3.$ odalardan hiçbirisinde tüm bireyler aynı aileye mensup değildir.
Benzer işlemleri $B$ ailesi $1.$ odaya girdiğinde veya $C$ ailesi $1.$ odaya girdiğinde tekrarlayabiliriz. Bu durumda $3\cdot 18 = 54$ şekilde sorudaki gibi bir dağılım yapılabilir.
O halde $P = \dfrac {54}{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = \dfrac {9}{8\cdot 7 \cdot 5} = \dfrac {9}{280}$.