Çember |OQ|^2 + |OR|^2 = 2|OC|^2 {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$O$ merkezli bir çember üstünde $A,B,C$ noktaları veriliyor. $P$ noktası $AB$ yayının orta noktası olsun. Öyle ki $C$ ve $P$ noktaları $AB$ ye göre farklı taraflarda yer almış olsunlar.  $P$ den $AC, BC$ ye inilen dik ayakları $Q, R$ olsun. Buna göre $|OQ|^2 + |OR|^2 = 2|OC|^2$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a,b,c$ ve çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olsun. Genelliği bozmadan $b \leq a$ kabul ederek çözümü yapalım. $AB$ yayının orta noktası $P$ verildiğinden $[CP$, üçgende bir açıortaydır. $\widehat{PAB}=\widehat{PCB}=\widehat{PCA}=\widehat{PBA}$ olduğundan $APB$ üçgeni ikizkenardır ve $|PA|=|PB|$ olur. $O$ dan $[CA]$ ve $[BC]$ kenarlarına inen dikme ayakları sırasıyla $K,H$ ise, $|CK|=|KA|=\dfrac{b}{2}$, $|CH|=|HB|=\dfrac{a}{2}$ dir.
Açıortayın kollarına $P$ den inen dikmeler $|PQ|=|PR|$ eşittir. Böylece $PAQ$ ve $PBR$ eş üçgenlerdir ve $|AQ|=|RB|=\dfrac{a-b}{2}$ olur. buna göre $$ |KQ|=\dfrac{a}{2}, \qquad |HR|=\dfrac{b}{2} $$ yazılabilir. Ayrıca $\widehat{COK}=\widehat{ABC}$ olduğundan $|OK|=R\cos (\widehat{CBA})$ dır. Benzer biçimde $|OH|=R\cos (\widehat{CAB})$ dir. Sinüs teoreminden de faydalanarak

$ \quad |OQ|^2+|OR|^2=|OK|^2+|KQ|^2+|OH|^2+|HR|^2 $

$= R^2 \cos ^2 (\widehat{ABC}) + R^2 \cos ^2 (\widehat{CAB}) + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{b^2}{4} $

$ = R^2 \cos ^2 (\widehat{ABC}) + R^2 \cos ^2 (\widehat{CAB}) + R^2\sin ^2  (\widehat{ABC}) + R^2 \sin ^2 (\widehat{CAB})$

$= 2R^2 $

elde edilir.