Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninin $\left [ AC \right ]$ kenarının $M$ orta noktası, $B$ köşesine ait yüksekliğinin $H$ ayağı ile $C$ köşesi arasındadır. $m\left ( \widehat{ABH} \right )=m\left ( \widehat{MBC} \right ) ,\ m\left ( \widehat{ACB} \right )=15^{\circ}$ ve $\left | HM \right |=2\sqrt{3}$ ise $\left | AC \right |$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{16}{\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ 10
$ 

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$O$ çevrel merkez, $D$ de $[BC]$ nin orta noktası olsun. $\angle BAH = \dfrac{\angle BOC}2 \Rightarrow \angle BAH = \angle DOB$ olduğu için $O$ noktası $BM$ doğrusu üzerinde olmalı. Diğer taraftan $\angle OMC = 90^\circ$ olması gerektiğinden, $O = M$, ve $\triangle ABC$ dik üçgen olur.
$\dfrac{MH}{BM} = \cos30^\circ \Rightarrow MB = 4 \Rightarrow AC = 8 $.

Not:
Bir kenara ait yükseklik, o kenara ait kenarortaysı (simedyan) ise; üçgen dik üçgen, kenar da hipotenüstür.