Piyasa Kitaplarındaki Hatalı Sorular > Hatalı Cebir Soruları

Fonksiyon tanım kümesi

(1/1)

alpercay:
$f:\mathbb{R}-\{1,2\}\to \mathbb{R}$ olmak üzere $f(x)=\dfrac x{x^2+ax+b}$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre $a+b$ toplamını bulunuz.

Üniversite hazırlık kitaplarının bazılarında bulunan bir soru. Yanıt olarak $(a,b)=(-3,2)$ için $a+b=-1$ verilmiş fakat toplam $-1$ den küçük olmayan herhangi bir reel sayı olabilir.

Metin Can Aydemir:
İlk akla gelen $x^2+ax+b=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ olduğundan $(a,b)=(-3,2)$ olduğu. Ancak tanım kümesi $\mathbb{R}-\{1,2\}$ verildi diye $x^2+ax+b$'nin kökleri $1$ ve $2$ diye atlamamak lazım. $\Delta<0$ olursa da fonksiyon hala bu tanım kümesiyle tanımlanabilir. Bu yüzden ek koşul eklenmesi gerekiyor.

Güncelleme: Koyulabilecek şartlardan biri, tanım kümesinin fonksiyonun tanımlı olduğu "en büyük" küme olmasıdır. Ancak bu şart soruyu çok basitleştirecektir. Bu tanım kümesiyle tanımlanabilecek, bu formattaki tüm fonksiyonlara bakalım.

$\Delta=a^2-4b<0$ ise fonksiyon her yerde tanımlanabilir.

$\Delta=a^2-4b=0$ ise payın tek kökü vardır. Bu noktada fonksiyon tanımsız olduğundan bu kök $1$ veya $2$'dir. Bu yüzden $x^2-4x+4$ veya $x^2-2x+1$ olabilir.

$\Delta=a^2-4b>0$ ise payın iki kökü vardır. Bu kökler $1$ ve $2$ olacağından pay, $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ olmalıdır.

Bu fonksiyon hiçbir zaman birebir değildir çünkü $b=0$ olduğunda fonksiyon $x=0$'da tanımlı değildir. $b\neq 0$ olduğunda da $f(x)=f(b/x)$'dir. Örtenlik şartı arayalım. Eğer fonksiyon örten olarak verilseydi, her $c\in\mathbb{R}$ için $\frac{x}{x^2+ax+b}=c$'nin bir çözümü olacaktır. Bu eşitliği düzenlersek, $$cx^2+(ac-1)x+bc=0\implies \Delta_x=(ac-1)^2-4bc^2\geq 0$$ olacaktır. Her $c$ için bu sağlandığından $(a^2-4b)c^2-2ac+1\geq 0$'dır. Buradan $a^2-4b>0$ bulunur. Göremeyenler için $a=0$ durumu ayrı incelendikten sonra $c=\frac{1}{2a}$ alınabilir. Sonuç olarak yukarıda gösterdiğimiz gibi $a^2-4b>0$ olduğunda $a=-3$ ve $b=2$ olmalıdır. Dolayısıyla soruya örtenlik şartı eklenirse sorun çözülebilir.

Güncellemenin güncellemesi: Eğer örtenlik varsa $x^2-3x+2$ olması gerektiğini yazıp bırakmışım ancak bu durumda örten olup olmadığını kontrol etmemişim. Eğer incelenirse, fonksiyonun bu durumda da örten olmadığı görülebilir. Örneğin, $\frac{x}{x^2-3x+2}=-1$ olacak şekilde bir $x$ yoktur. Yani bu fonksiyon hiçbir zaman örten değildir. Ayrıca hiçbir zaman birebir değildir çünkü $b=0$ olduğunda $x=0$'da fonksiyon tanımsızdır, $b\neq 0$ olduğunda da $f(x)=f(b/x)$'dir. Dolayısıyla, soruyu düzeltmek için birebirlik veya örtenlik dışında bir koşul gerekir.

Navigasyon

[0] Mesajlar