Fantezi Cebir > Sayılar Teorisi

$n^n-1$ sayısının asal böleni

(1/2) > >>

Metin Can Aydemir:
$167$'nin $n^n-1$'in böleni olmasını sağlayan en küçük $n\geq 2$ tamsayısı nedir?

ahmedsyldz:
$n^n - 1 = (n-1)(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$
Eğer ki $(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$ çarpanı 167'nin katıysa $167 \equiv 2\mod3$ olduğundan bu ifadenin de 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Eğer ki $n = 3k$ ise $(3k - 1)(3k) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Eğer ki $n = 3k + 1$ ise $(3k)(3k + 1) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Ve son olarak $n = 3k + 2$ ise $(3k + 1)(3k + 2) + 1 \equiv 0 \mod3$ olacağından n'in hiç bir durumunda bu ifadenin mod 3'te 2 kalanını vermediği görülür. Bu nedenle $n-1$ çarpanı 167'nin katı olmalıdır. Bu durumda $n$ minimum 168 olabilir.

geo:

--- Alıntı yapılan: ahmedsyldz - Ekim 30, 2024, 05:40:53 ös ---$n^n - 1 = (n-1)(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$
Eğer ki $(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$ çarpanı 167'nin katıysa $167 \equiv 2\mod3$ olduğundan bu ifadenin de 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Eğer ki $n = 3k$ ise $(3k - 1)(3k) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Eğer ki $n = 3k + 1$ ise $(3k)(3k + 1) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Ve son olarak $n = 3k + 2$ ise $(3k + 1)(3k + 2) + 1 \equiv 0 \mod3$ olacağından n'in hiç bir durumunda bu ifadenin mod 3'te 2 kalanını vermediği görülür. Bu nedenle $n-1$ çarpanı 167'nin katı olmalıdır. Bu durumda $n$ minimum 168 olabilir.

--- Alıntı sonu ---

Fermat'ın küçük teoremine göre $n=166=3k+1$ için $166^{166}-1 \equiv 0 \pmod {167}$ olacaktır.
Dolayısıyla çıkarımınız yanlıştır.

geo:
Fermat'ın küçük teoreminden $n=166$ ın sağladığı kolayca görülebilir.

$n^{166} \equiv 1 \equiv n^n \pmod {167}$ olduğu için $n\mid 166$ olmalı. $n=2$, $n=83$, $n=166$ olabilir.
$n=2$ sağlamaz, $n=166$ ın sağladığını göstermiştik. Geriye sadece $n=83$ durumu kalıyor.
$83^{83}\equiv 1 \pmod {167}$ ise cevabımız $83$; değilse, yani $83^{83} \equiv -1 \pmod{167}$ ise cevabımız $166$ olacak.
$-1 \equiv 166^{83}\equiv 2^{83}\cdot 83^{83} \pmod {167}$ olduğu için $2^{83}$ ile $83^{83}$ $\bmod 167$ de zıt işaretli olmalı.
Bu durumda $2^{83}\equiv 1 \pmod{167}$ ise cevap $n=166$, değilse $n=83$ olacaktır.
Son ifadenin eşiti:
$2$ sayısı $\bmod {167}$ de ilkel kök değilse cevap $166$, ilkel kökse $83$.
$167=8k+7$ şeklinde bir asal sayı olduğu için
$x^2\equiv 2 \pmod{167}$ denkliğinin çözümü vardır.
(bkz. The second supplement to the law of quadratic reciprocity, bkz. proofwiki, bkz. math.stackexchange.com)
Her iki tarafın $83$ ün üssünü alırsak, Fermat'ın Küçük Teoreminden $x^{166}\equiv 2^{83}\equiv 1 \pmod {167}$ olacaktır. Yani $2$, $\bmod {167}$ de ilķel kök değildir. Dolayısıyla $83$ ilkel köktür, yani $n^n\equiv 1 \pmod {167}$
şartını sağlayan $1$ den büyük en küçük sayı $n=166$ dır.

Metin Can Aydemir:

--- Alıntı yapılan: geo - Ekim 30, 2024, 10:04:00 ös ---$n^{166} \equiv 1 \equiv n^n \pmod {167}$ olduğu için $n\mid 166$ olmalı. $n=2$, $n=83$, $n=166$ olabilir.

--- Alıntı sonu ---

Bu kısımdan emin değilim. Öncelikle $n=2\cdot 166=332$ de denkliği sağlar. Yani $n\mid 166$ olmak zorunda değil. Eğer $n<166$ için bu olmak zorunda diyorsanız da bence çok bariz bir sonuç değil. Nasıl düşündüğünüzü bilmemekle birlikte, $n$'nin mertebesi $166$'yı bölmeliden gelmiş bir sonuç gibi gözüküyor. Ancak bu durumda da $n$'nin mertebesi $d$ ve $n=dk$ gibi bir şey de olabilir. Örneğin $n^n\equiv 1\pmod{13}$ denkliğinde $n=8$ bir çözüm olmasına rağmen $8\nmid 12$'dir. Ayrıca $8$'nin mertebesi $4$'dür, yani $8$'in bölenidir.

Navigasyon

[0] Mesajlar

[#] Sonraki Sayfa