Öncelikle $p$'nin değerini bulalım. $p=2$ olamaz çünkü $n^4+1$ sayısı $4$ modunda sadece $1,2$ kalanları verir. $p$ tektir. $p\mid n^4+1$ olmasından ilerleyeceğiz. $(n,p)=1$ olduğu barizdir. $n$'nin $p$ modundaki mertebesi $d$ olsun. $$n^8\equiv 1\pmod{p}$$ olduğundan $d\mid 8$'dir ancak $d=1,2,4$ olamaz çünkü aksi takdirde $p\mid n^4-1$ ve $p\mid 2$ elde edilirdi. Yani $d=8$'dir. $d\mid p-1$ olduğundan $p\equiv 1\pmod{8}$'dir. $p$ en az $17$'dir. $17^2\mid m^4+1$ olacak şekilde bir $m$ olduğu daha garanti değildir ama varsa $17$ aradığımız asal, $m$ ise cevabımızdır.
$17\mid m^4+1$'den yukarıda da gösterdiğimiz gibi $m$'nin mertebesinin $8$ olduğunu buluruz. Bu şekilde $17$ modunda $\phi ( 8 ) = 4$ sayı vardır. Bunları bulmakla başlayalım. $2$'nin bu şartı sağladığı kolayca görülebilir. $2$ üzerinden diğer üç sayıyı da bulabiliriz. $8$'den küçük ve aralarında asal sayılar $1,3,5,7$ olduğundan aradığımız sayılar $$m\equiv 2^1,2^3,2^5,2^7\equiv 2,8,15,9\pmod{17}$$ şeklindedir.
Lemma: $0\leq b<p$ olmak üzere $n=ap+b$ olsun. $n^k\equiv ab^{k-1}pk+b^k\pmod{p^2}$'dir.
İspat: $n=ap+b$ yazarsak, binom açılımından, $$(ap+b)^k\equiv \sum_{i=0}^{k}\dbinom{k}{i}(ap)^ib^{k-i}\equiv b^k+\dbinom{k}{1}(ap)b^{k-1}\equiv ab^{k-1}pk+b^k\pmod{p^2}$$ elde edilir.
$m\equiv 2\pmod{17}$ ise $m=17k+2$ yazabiliriz. Bu durumda $$0\equiv m^4+1\equiv (17k+2)^4+1\equiv 2^4+17\cdot 8\cdot 4k+1\pmod{17^2}$$ $$\implies 32k+1\equiv 0\pmod{17}\implies k\equiv 9\pmod{17}$$ bulunur. Bu durumdan elde edilecek en küçük $m$ değeri $17\cdot 9+2=155$'dir.
$m=17k+8$ yazıp, yukarıdaki işlemin aynısını yaparsak, $k\equiv 6\pmod{17}$ bulunur. Buradan elde edilecek en küçük $m$ değeri $17\cdot 6+8=110$'dur.
$m=17k+9$ için incelersek, $k\equiv 10\pmod{17}$ elde edilir. Buradan minimum $m=179$ elde edilir.
$m=17k+15$ için ise $k\equiv 7\pmod{17}$'dir. Buradan da $m=134$ bulunur. En küçük $m$ değeri $110$'dur.
