Cevap: $\boxed{\sqrt{34}}$
Minkowski Eşitsizliği'ni kullanacağız. Çözümün anlaşılabilirliği için eşitsizlikten bahsedelim. $a_{ij}$ pozitif reeller, $r>s$ ise sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere
$$\left(\sum_{j=1}^{m}{\left(\sum_{i=1}^{n}{a^{r}_{ij}}\right)^{s/r}}\right)^{1/s}\geq \left(\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{j=1}^{m}{a_{ij}^{s}}\right)^{r/s}}\right)^{1/r}$$
olduğunu belirtir. Bu çözümde kullanacağımız hali ise $s=1$, $r=2$, $m=2$ ve $n=2$ yani
$$\sqrt{a_1^2+a_2^2}+\sqrt{b_1^2+b_2^2}\geq \sqrt{\left(a_1+b_1\right)^2+\left(a_2+b_2\right)^2}$$
Buna göre
$$\sqrt{\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}}+\sqrt{\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-x\right)^2+\dfrac{25}{4}}\geq \sqrt{\left(x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-x\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{3}+5}{2}\right)^2}$$
$$=\sqrt{\dfrac{(5\sqrt{3}-3)^2+(5+3\sqrt{3})^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{136}{4}}=\sqrt{34}$$
elde edilir. Eşitlik durumu $x=\dfrac{30}{5+3\sqrt{3}}$ için sağlanır.
Not:Bana göre bu sorunun aslında Mayıs sınavında P23-27 gideri var, şayet 2008'deki sorudan daha işlemli.
