İran MO 2. Aşama 2024 #4

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$  üçgeninde $M$  noktası $AB$  kenarının orta noktası, $B'$  ise $B$ 'den inilen dikme ayağıdır. $(CB'M)$  çevrel çemberi $BC$  doğrusunu ikinci kez $D$  noktasında kesiyor. $(ABD)$  çevrel çemberi ile $(CB'M)$  çevrel çemberleri $K\neq D$  noktasında kesişiyor. $C$ noktasından geçip $AB$  doğrusuna paralel olan doğru $(CB'M)$  çevrel çemberini ikinci kez $L$  noktasında kesiyorsa $KL$  doğrusunun $CM$ 'yi ikiye böldüğünü gösteriniz.

[ygzgndgn]

İddia. $A-K-L$ doğrudaştır.
İspat. $A,K,D,B$ çemberdeş ise $\angle{AKD}=180-\angle{ABC}$. $CL\parallel AB$ ve $K,C,L,D$ çemberdeş ise $\angle{LKD}=\angle{LCD}=\angle{ABC}$. Böylelikle $\angle{AKL}=180^{\circ}$ bulunur. $\square$

Öyleyse $KL$ ortalar $CM\Leftrightarrow AL$ ortalar $CM$.

İddia. $AMLC$ paralelkenardır.
İspat. Muhteşem üçlüden $\angle{MB'B}=90-\angle{BAC}$ gelir. $C,B',M,L$ çemberdeş ise $\angle{MLC}=180-\angle{MB'C}=\angle{BAC}$ olup $AC\parallel ML$ bulunur. Halihazırda $AB\parallel CL$ olduğundan $AMLC$ paralelkenar gelir. $\square$

Son iddiadan ötürü $AL$ ortalar $CM$. İspat biter $\blacksquare$