ELMO 2024 Problem 1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Dışbükey $ABCD$  dörtgeninde $AC$  ve $BD$  köşegenlerinin kesişimi $E$  noktasıdır. $ADE$  ve $BCE$  üçgenlerinin çevrel çemberleri $AB$  doğrusunu sırasıyla $P\neq A$  ve $Q\neq B$  noktalarında kesiyor. $ACP$ üçgeninin çevrel çemberi $AD$  doğrusunu $R\neq A$  noktasında, $BDQ$  üçgeninin çevrel çemberi ise $BC$  doğrusunu $S\neq B$  noktasında kesiyor. Buna göre $A$, $B$, $R$  ve $S$  noktalarının çembersel olduğunu ispatlayınız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$AD\cap BC=F$, $(BDQ)\cap AD=N$  ve $(ACP)\cap BC=M$  olsun.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Öncelikle $D$, $E$, $C$, $M$  ve $N$  noktalarının çembersel olduğunu gösterelim:

$B$  noktası $(APED)$  ve $(APCLR)$ çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir. Dolayısıyla $BP\cdot BA=BE\cdot BD=BC\cdot BM$  olduğundan $C$, $D$, $E$  ve $M$  noktaları çemberseldir. Benzer şekilde $A$
noktası $(BCEQ)$  ve $(BQDKS)$  çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir ve $AQ\cdot AB=AE\cdot AC=AD\cdot AN$  bağıntısı sağlandığından $C$, $D$, $E$  ve $N$  noktaları da çemberseldir. Sonuç olarak tüm $D$,$E$,$C$,$M$  ve $N$  noktaları ortak bir çember üzerindedir.

Şimdi problemde isteneni, yani $A$,$B$,$R$  ve $S$  noktalarının çemberselliğini gösterelim:

$F$  noktasının sırasıyla $(DECKL)$, $(APCLR)$  ve $(BQDKS)$  çemberlerinin göre kuvvetlerinden $FK\cdot FD=FL\cdot FC=FR\cdot FA=FS\cdot FB$  bulunur, ki $A$, $B$, $R$  ve $S$  noktalarının çembersel olduğunu gösterir.