USAJMO 2012 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$  üçgeninin sırasıyla $AB$  ve $AC$  kenarları üzerinde alınan $P$  ve $Q$  noktaları için $AP=AQ$  eşitliği sağlanıyor. $S$  ve $R$  noktaları $BR>BS$ ,  $\angle BPS=\angle PRS$ ve $\angle CQR=\angle QSR$  koşulları sağlanıyor. Buna göre $P$, $Q$, $R$  ve $S$  noktaları çemberseldir, gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Açı koşulları aslında $AB$  ve $AC$  doğrularının sırasıyla $(PSR)$  ve  $(QSR)$  çevrel çemberlerine teğet olduklarını söyleyebiliriz. Buna göre $AP$  ve $AR$  , bu iki çevrel çembere teğet olup $AP^2=AQ^2$  olduğundan $A$  noktası, $(PSR)$  ve $(QSR)$  çevrel çemberlerinin kuvvet ekseni üzerindedir.

Varsayalım ki $(PSR)\neq (QSR)$,  yani $PQRS$ çembersel olmasın. Buna göre bu iki çemberin ortak kirişi $BC$  kuvvet ekseni olmalıdır. Fakat $A$  noktası da kuvvet ekseni üzerindeydi, çelişki. Dolayısıyla $(PSR)=(QSR)$  olur; $P$,  $Q$,  $R$ ve $S$  noktaları çemberseldir.