Iran TST 2011 #1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\angle B>\angle C$  olan dar açılı  $ABC$ üçgeninde $CD$  ve $BE$  yükseklikler olsun. $M$  noktası $BC$  kenarının orta noktası, $K$  ve $L$  noktaları ise sırasıyla $ME$  ve $MD$  doğru parçalarının orta noktalarıdır. $KL$
 doğrusunun üzerinde alınan bir $T$ noktası için $AT\parallel BC$  ise $TA=TM$  olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Nokta çemberi ile çözüm verelim. $\angle C=\angle ADE=\angle CAT$  olduğundan $TA$  doğrusu $(ADHE)$  çevrel çemberine $A$  noktasında teğettir. $F$  noktası da $A$  köşesinden $BC$ 'ye inilen dikme ayağı olsun. Ayrıca
$$\angle BCD=\angle MFD=\angle BAF$$
olduğundan $MD$  ve $ME$  doğruları da $(ADHE)$  çevrel çemberine teğettir.

Şimdi ise $M$  noktasındaki sıfır yarıçaplı çemberi oluşturalım. $ME$  ve $MD$  ortak teğetlerinin orta noktaları bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerinde olacağından, $KL$  doğrusu $(ADHE)$  ve $M$  nokta çemberinin  kuvvet eksenidir. Dolayısıyla $T$ 'den bu iki çembere çizilen teğetler eş uzunlukta, $TA=TM$  olarak bulunur.