USAMO 1990 #5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Dar açılı  $ABC$ üçgeninde $CC'$  yüksekliği $AB$  çaplı çemberi ilk $M$  noktasında, ikinci olarak da $N$  noktasında kessin. $BB'$  yüksekliği ise $AC$  çaplı çemberi ilk $P$, ikinci olarak da $Q$ noktalarında kesiyor. Buna göre $M$, $N$, $P$ ve $Q$ noktalarının çemberselliğini gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$MNPQ$  çemberselliğinin yanı sıra
$$AN=AQ \quad ,\quad PB'=QB' \quad \text{ve} \quad MC'=NC'$$
özelliklerinin sağlandığını da söyleyebiliriz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İlk olarak istenen çemberselliği gösterelim. $A$ 'dan inilen dikme ayağı da $A'$  olsun. Diklik merkezi $H$  olsun. $A'\in (ACC')$  olduğundan $AH\cdot HA'=CH\cdot HC'\quad \text{ve} \quad AC'\cdot AB=AB'\cdot AC$  dir.

Ayrıca $NAMA'B$  ve $QAPA'C$  beşgenleri çembersel olduğundan (çemberler sırasıyla $w_1$  ve $w_2$  ise) $H$  diklik merkezinin $w_1$  ve $w_2$  çemberlerine göre kuvvetinden
$$NH\cdot HM=AH\cdot HA'=CH\cdot HC'=QH\cdot HP$$
olur. Dolayısıyla $MNPQ$  dörtgeni $H$  noktası için kuvvet sağladığından çemberseldir.

Şimdi ise $AN=AQ, \quad PB'=QB'\quad \text{ve} \quad MC'=NC'$  olduğunu gösterelim. Öklid Bağıntılarından ve yine $w_1$  ve $w_2$  çemberlerinde kuvvetten
$$AN^2=AC'\cdot AB=AB'\cdot AC=AQ^2\Longleftrightarrow AN=AQ$$
$$C'N^2=AC'\cdot BC'=C'N\cdot MC'\Longleftrightarrow NC'=MC'$$
$$B'Q^2=AB'\cdot CB'=B'Q\cdot PB'\Longleftrightarrow QB'=PB'$$
elde edilir ve diğer üç eşitlik de sağlanır.