Nokta Çemberi- Rus Matematik Olimpiyatı 2010

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Çevresi $4$  olan $ABC$  üçgeninin sırasıyla $AB$  ve $AC$  ışınları üzerinde alınan $X$ ve $Y$ noktaları için $AX=AY=1$  dir. $XY$  doğrusu $BC$  kenarını $M$  noktasında kestiğine göre ya $ABM$  ya da $ACM$  üçgeninin çevresinin $2$  olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AB<AC$ olsun.
$ABC$ de $A$ ya ait $I$ merkezli dış teğet çember, $BC$, $AC$, $AB$ doğrularına sırasıyla $T$, $W$ ve $U$ noktalarında dokunsun.
$AI$, $XY$ ve $UW$ doğrularını $K$ ve $L$ de kessin.
$AM$ ile $UW$, $N$ de kesişsin.
$ABC$ çevresine $2u$ dersek, $AX=XU=AY=YW=\dfrac u2$ olacaktır.
$XY\parallel UW$ olduğu için $AK=KL$, $AM=MN=ML$.

$M$ noktasının dış teğet çembere göre kuvvetinden
$\begin{array}{rcl}
MT^2 &=& MI^2-IU^2\\
&=& MI^2-IL\cdot IA\\
&=& MI^2-(IK-KL)(IK+AK)\\
&=& MI^2-(IK-KL)(IK+KL)\\
&=& MI^2-(IK^2-KL^2)\\
&=& MI^2-(MI^2-ML^2)\\
&=& ML^2\\
&=&AM^2\end{array}$

$AB+AM+BM=AB+MT+BM= AB+BT=AB+BU=AU=u$

[geo]

İlk çözüme benzer bir çözümü kuvvet ekseni ile de verebiliyoruz.

$I$ merkezli $|IU|$ yarıçaplı çember ile $A$ merkezli $0$ yarıçaplı çemberin kuvvet eksenini ele alalım.

$X$ noktasının bu iki çembere göre kuvveti $XU^2=AX^2-0=AX^2$ olduğu için, $XY$ doğrusu bu iki çemberin kuvvet eksenidir.
O halde $XY$ üzerindeki $M$ noktası için de kuvvetler eşit olacaktır. $AM^2=MT^2$.
$AM+MB+BA=TM+MB+BA=TB+BA=UB+BA=UA$.