Fantezi Cebir > Analiz-Cebir

Hiperbol, Çember ve Eşkenar Üçgen

(1/1)

Lokman Gökçe:
Soru: Analitik düzlemde, merkezi $(2, \frac{1}{2})$ noktasında olan $r$ yarıçaplı çember ile $xy=1$ hiperbolü $4$ farklı noktada kesişiyor. Bu noktalardan üç tanesi eşkenar üçgen oluşturduğuna göre $r$ kaçtır?

Metin Can Aydemir:
Çemberin denklemi $(x-2)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=r^2$'dir. $xy=1$ hiperbolüyle kesişimlerini bulmak için $y=\frac{1}{x}$ yazarsak, $$(x-2)^2+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)^2=(x-2)^2\left[1+\frac{1}{4x^2}\right]=r^2$$ $$\implies (x-2)^2(4x^2+1)=4x^2r^2$$ sağlanır. $4$ kesişim noktası olduğundan ve bu denklem dördüncü dereceden olduğundan her kök bize ayrı bir noktayı verecektir. Bu noktalardan eşkenar üçgeni oluşturanların ağırlık merkezi, çevrel çemberinin merkezi olan $\left(2,\frac{1}{2}\right)$ olacağından apsislerin toplamı $2\cdot 3=6$ olacaktır. Yani kullanılmayan $4.$ noktanın apsisi $x_0$ ise yukarıdaki denklemin köklerinin toplamı $6+x_0$'dır. $$4x^4-16x^3+(17-4r^2)x^2-4x+4=0$$ denkleminde köklerin toplamı, Vieta formüllerinden dolayı $\frac{16}{4}=4=6+x_0$'dır. Demek ki köklerden biri $x_0=-2$'dir. Yerine yazarsak, $$16(r^2-17)=0\implies r=\sqrt{17}$$ bulunur.

Güncelleme: Test mantığı ile soru yukarıda bitmiştir. Tamamen bitmesi için $r=\sqrt{17}$ durumunda $\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ dışındaki üç noktanın gerçekten eşkenar üçgen oluşturduğunu göstermek gerekir. $r=\sqrt{17}$ için kesişim denklemi $$4x^4-16x^3-51x^2-4x+4=(x+2)(4x^3-24x^2-3x+2)=0$$ haline gelir. Öncelikle $4x^3-24x^2-3x+2$'nin $3$ farklı (ve $-2$'den farklı) kökü olduğunu, sonrasında bu köklerden gelen kesişim noktalarının eşkenar üçgen oluşturduğunu gösterelim.

$f(x)=4x^3-24x^2-3x+2$ dersek, $f(-2)\neq 0$'dır. Ayrıca $f(-1)<0$, $f(0)>0$, $f(1)<0$ ve $f(+\infty)=+\infty$ olduğundan $(-1,0)$, $(0,1)$ ve $(1,\infty)$ aralıklarında üç farklı kökü vardır. Bu kökler $a,b,c$ olsun. Vieta formüllerinden $$a+b+c=6$$ $$ab+ac+bc=-\frac{3}{4}$$ $$abc=-\frac{1}{2}$$ olacaktır. Bunları kullanarak $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{3}{2}$$ bulunur. Bu da köşeleri $\left(a,\frac{1}{a}\right)$, $\left(b,\frac{1}{b}\right)$ ve $\left(c,\frac{1}{c}\right)$ olan üçgenin ağırlık merkezinin $\left(2,\frac{1}{2}\right)$ olduğunu, yani çevrel çember merkezi ile ağırlık merkezinin çakıştığını gösterir. Bunu sağlayan tek üçgenin eşkenar üçgen olduğu kolayca görülebilir.

Lokman Gökçe:
Teşekkürler Metin Can,

Problem, bir yapay zeka geliştirme çalışmasında karşıma çıkmıştı. Ben de aynı yolla $r=\sqrt{17}$ bulmuştum. Çemberle hiperbolün kesişim noktalarına $A, B, C, D$ diyelim. $D(-2, -\frac{1}{2})$ bulduktan sonra yapay zeka da, test mantığı ile $r$ nin hesabına geçiyor. Fakat $ABC$ üçgenin eşkenar olup olmadığını sorgulamıyordu. GeoGebra ile aşağıdaki çizimi yaparak kontrol ettim.

Matematiksel bir kanıt için $A(a,\frac{1}{a})$, $B(b,\frac{1}{b})$, $C(c,\frac{1}{c})$, olmak üzere $|AB| = |BC| = |CA|$ uzaklık eşitliklerinin sağlandığını göstermemiz gerekecektir. Daha pratik bir yolu var mı bilmiyorum. Ayrıca soru nasıl inşa edilmiş, bu da ilginç geldi. Kesişim noktalarından üçüyle bir eşkenar üçgen inşa edecek şekilde denklemleri kurgulamak akıl dolu görünüyor.

Navigasyon

[0] Mesajlar