Bir Diyofant Denklemi

[alpercay]

$2^x-2^9=3^y-3$ eşitliğinin pozitif tamsayılarda $(9,1)$ den başka bir çözümü olup/olmadığı nasıl gösterilir?
$ 2^9\cdot(2^{x-9}-1)=3\cdot(3^{y-1}-1)$ şeklinde yazınca $(x,y)=(9,1)$ olması gerektiği görülüyor. Başka çözüm olup/olmadığını göremedim.

[Metin Can Aydemir]

$y=1$ ise $x=9$ bulunur. $y\geq 2$ ise $x\geq 10$'dur. $3^y=2^x-509$ sayısının $9$'a bölünmesi üzerinden ilerleyelim. $$2^x\equiv 509\equiv 5\pmod{9}\implies x\equiv 5\pmod{6}$$ elde edilir. Mod $7$'de incelersek, $x\equiv 5\pmod{6}$ olduğundan $2^x\equiv 4\pmod{7}$'dir ve $$3^y\equiv 2^x-509\equiv 6\pmod{7}$$ elde edilir. $3^y\equiv 6\pmod{7}$ olmasının tek yolu $y\equiv 3\pmod{6}$ olmasıdır. $y=3k$ yazarsak, $3^y=27^k\equiv 1\pmod{13}$ olacağından, $$2^x\equiv 3^y+509\equiv 3\pmod{13}\implies x\equiv 4\pmod{12}$$ bulunur. Ancak yukarıdan da bulduğumuz gibi $x$ tek sayıdır. Bu da bir çelişkidir. $y\geq 2$ için çözüm yoktur.

[alpercay]

$x>9$ ve $y>1$ için başka bir çözüm  $a,b\in\mathbb{Z^+}$ olamak üzere  $(9+a,1+b)$ olsun. $$2^{a+9}=3^{b+1}+509$$  ve  $2^9=3+509$ olduğundan $$2^a(3+509)=509+3^{b+1}$$  $$(2^a-1)509=3(3^b-2^a)$$  $3$ ve $509$ sayıları asal olduğundan $2^a-1=3$ ve $3^b-2^a=509$ olmalıdır. Fakat bu durumda $3^b=513$ yani $b$ pozitif tam sayı olmaz. Demek ki tek çözüm $(9,1)$ dir.

[Metin Can Aydemir]

$x>9$ ve $y>1$ için başka bir çözüm  $a,b\in\mathbb{Z^+}$ olamak üzere  $(9+a,1+b)$ olsun. $$2^{a+9}=3^{b+1}+509$$  ve  $2^9=3+509$ olduğundan $$2^a(3+509)=509+3^{b+1}$$  $$(2^a-1)509=3(3^b-2^a)$$  $3$ ve $509$ sayıları asal olduğundan $2^a-1=3$ ve $3^b-2^a=509$ olmalıdır. Fakat bu durumda $3^b=513$ yani $b$ pozitif tam sayı olmaz. Demek ki tek çözüm $(9,1)$ dir.

Neden $k>1$ için $2^a-1=3k$ ve $3^b-2^a=509k$ olamıyor?

[alpercay]

Haklısın, ben sadece k=1 için düşünmüşüm.