Eşitsizlik 5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere


$$\dfrac{a}{a+5b+3c}+\dfrac{b}{b+5c+3a}+\dfrac{c}{c+5a+3b}\ge \dfrac{1}{3} $$


olduğunu gösteriniz.
AoPS

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,k,m,b$ pozitif reeller olmak üzere


$$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{ka+mb+(3p-m-k)c}}\geq \dfrac{1}{p}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 2
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_n$ ($n\geq 2$) pozitif reeller olmak üzere $\lambda_2+\cdots+\lambda_n\geq 2\lambda_1$ ise


$$\sum_{cyc- j}{\dfrac{a_{j}}{\lambda_1a_j+\lambda_2a_{j+1}+\cdots+\lambda_na_{j-1}}}\geq \dfrac{2n}{2\lambda_1+\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)}$$


olduğunu gösteriniz.

[ygzgndgn]

Faydalı Cauchy (Bergström) yaparsak
$$\sum_{cyc} {\frac{a}{a+5b+3c}}=\sum_{cyc} {\frac{a^2}{a^2+5ab+3ca}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ca)}$$
elde ederiz. $RHS\geq \frac{1}{3}$ ise ifade ispatlanır. Kontrol edilirse
$$\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow 3(a+b+c)^2\geq (a+b+c)^2+6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$
olduğu görülür. Son önerme ise yeniden düzenleme eşitsizliğinden doğrudur. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirmeler de Bergström Eşitsizliği ile kolaylıkla ispatlanabilir. Genelleştirme 2'yi ispatlayalım

$$LHS=\sum_{cyc- j}{\dfrac{a_{j}}{\lambda_1a_j+\lambda_2a_{j+1}+\cdots+\lambda_na_{j-1}}}=\sum_{cyc- j}{\dfrac{a_{j}^2}{\lambda_1a_j^2+a_{j}\left(\lambda_2a_{j+1}+\cdots+\lambda_na_{j-1}\right)}}$$
$$\overbrace{\geq}^{Bergström} \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)^2}{\lambda_1\left(\sum\limits_{cyc}{a_1^2}\right)+\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)\sum\limits_{sym}{a_1a_2}}\overbrace{\geq}^{?}\dfrac{2n}{2\lambda_1+\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)}$$
olduğunu söyleyebiliriz. O zaman aşağıdaki eşitsizliği göstermemiz yeterli olacaktır.
$$\lambda_1\left(\sum\limits_{cyc}{a_1^2}\right)+\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)\sum\limits_{sym}{a_1a_2}\leq \left(\dfrac{2\lambda_1+\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)}{2n}\right)\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2$$
$$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{2\lambda_1+\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)}{2n}-\lambda_1\right)\left(\sum_{cyc}{a_1^2}\right)\geq \left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n-\dfrac{2\lambda_1+\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)}{n}\right)\sum_{sym}{a_1a_2}$$
$$\Longleftrightarrow \dfrac{\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n-2\lambda_1\right)}{2n}\left(\sum_{cyc}{a_1^2}\right)\geq \dfrac{\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n-2\lambda_1\right)}{n}\sum_{sym}{a_1a_2} \quad \quad (*)$$
$$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}{a_1^2}\geq \dfrac{2}{n-1}\sum_{sym}{a_1a_2}$$
ki son ifade ise Lokman hocamızın Toplamın Karesi ile Ilgili Temel Bir Eşitsizlik bağlantısında paylaştığı Maclurin Eşitsizliği'nin direkt bir sonucu olarak bildiğimiz
$$\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2\geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{sym}{a_1a_2}$$
eşitsizliğinde her iki taraftan $2\sum\limits_{sym}{a_1a_2}$ çıkarılmasıyla elde edilebilir ve doğrudur. İspat tamamlanır ve $$LHS\geq \dfrac{2n}{2\lambda_1+\left(n-1\right)\left(\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)}$$
olarak belirlenir.

Not: Genelleştirmede verilen $\lambda_2+\cdots+\lambda_n\geq 2\lambda_1$ koşulu aslında (*) satırında katsayıları pozitif tutmak içindir. Bu koşul asıl prohlemde de sağlanmaktadır.
AoPS forumundaki bu soru, Genelleştirme 2'nin
$$n=3,\lambda_1=1,\lambda_2=5,\lambda_3=3$$
özel durumudur ve bu değerler verildiğinde $LHS\geq \dfrac{2.3}{2+2\left(5+3\right)}=\dfrac{1}{3}$ olarak kolaylıkle elde edilebilir.