Trigonometrik denklem

[Metin Can Aydemir]

Soru (Metin Can Aydemir): Verilen trigonometrik denklemi çözünüz, $$\csc{x}-\cot{2x}=\sqrt{3}.$$

[Metin Can Aydemir]

$\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}$ ve $\cot{2x}=\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}$ yazarsak, $$\frac{1}{\sin{x}}-\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}=\frac{2\cos{x}-\cos{2x}}{\sin{2x}}=\sqrt{3}$$ $$\implies \cos{x}=\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{2x}$$ elde edilir. Eğer $\frac{1}{2}$ yerine $\sin{30^\circ}$ ve $\frac{\sqrt{3}}{2}$ yerine de $\cos{30^\circ}$ yazarsak, $$\cos{x}=\sin{30^\circ}\cos{2x}+\cos{30^\circ}\sin{2x}=\sin{(2x+30^\circ)}$$ $$\implies \cos{x}=\cos{(60^\circ-2x)}$$ elde edilir. Dereceyi radyan cinsine çevirirsek, iki ihtimal vardır, $k$ tamsayısı için $$x=\frac{\pi}{3}-2x+2\pi k\implies x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$$ $$2x-\frac{\pi}{3}=x+2\pi k\implies x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$$ olur. Dolayısıyla tüm çözümler herhangi bir $k$ tamsayısı için $\boxed{x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}}$'dir.