Balkan Matematik Olimpiyatı 2001 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$a+b+c \geq abc$ şartını sağlayan $a,b,c$ pozitif reel sayıları için
$$a^2+b^2+c^2 \geq abc \sqrt3$$
eşitsizliğini kanıtlayınız.

(Romanya)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$\left(ab+bc+ca\right)^2\geq 3abc\left(a+b+c\right)$ bilinen eşitsizliği kullandığımızda
$$LHS=a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc\left(a+b+c\right)}\geq abc\sqrt{3}$$
$$\Longleftrightarrow a+b+c\geq abc$$
ki bu problemde verilen koşulla özdeştir.