Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$AC>AB$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Omega$ ve iç teğet çember merkezi $I$ olsun. Bu üçgenin iç teğet çemberi $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$, $F$ noktalarında teğettir. $X$ ve $Y$ noktaları, iç teğet çemberin sırasıyla $\stackrel{\huge{\frown}}{DF}$ ve $\stackrel{\huge{\frown}}{DE}$ küçük yaylarının üzerinde $\angle{BXD} = \angle{DYC}$ olacak şekilde alınıyor. $XY$ doğrusu ile $BC$ doğrusunun kesişim noktası $K$ olsun. $\Omega$ üzerinde bir $T$ noktası, $KT$ ile $\Omega$ teğet olacak ve $T$ noktası $BC$ doğrusuna göre $A$ ile aynı tarafta olacak şekilde alınıyor. $TD$ ve $AI$ doğrularının $\Omega$ üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

(İngiltere)

[geo]

$K$ nin içteğet çembere göre kuvvetinden $$KX \cdot KY = KD^2 \tag{1}$$
$K$ nin çevrel çembere göre kuvvetinden $$KB\cdot KC = KT^2 \tag{2}$$
Teğet kiriş açıdan $\angle DYX = \angle XDB$.
$\angle XBK = \angle XDB+ \angle BXD = \angle DYX + \angle DYC =\angle CYX$ olduğu için $CYXB$ kirişler dörtgenidir. $K$ nin bu kirişler dörtgeninin çevrel çemberine göre kuvvetinden $$KX \cdot KY = KB\cdot KC \tag{3}$$
$(1),(2)$ ve $(3)$ ü birleştirirsek $KT = KD$ elde ederiz.

$TD$ ile $\Omega$, $M$ de kesişsin.
$\overset{\Huge\frown}{BM} + \overset{\Huge\frown}{TC} =2\angle TDC = 2\angle DTK =\overset{\Huge\frown}{TM} =\overset{\Huge\frown}{CM} +\overset{\Huge\frown}{TC} \Longrightarrow \overset{\Huge\frown}{BM} = \overset{\Huge\frown}{CM}$
Bu durumda $AM$ doğrusu $\angle CAB$ nin açıortayıdır. Yani $A, I, M$ doğrusaldır. O halde $AI$ ile $TD$ doğruları, $\overset{\Huge\frown}{BC}$ yayının orta noktasında kesişir.