Matematik Eğitimi > Matematik Eğitimi

Binom Dağılımından Normal Dağılıma 1

(1/1)

Lokman Gökçe:
Soru (Lokman Gökçe): Standart normal dağılıma sahip $Z$ rassal değişkeni için bazı $z$ puanlarına ait $P(Z \leq z)$ olasılık değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
z & P(Z \leq z) \\
\hline
0 & 0,5000 \\
\hline
0,5 & 0,6915 \\
\hline
1 & 0,8413 \\
\hline
1,5 & 0,9332 \\
\hline
2 & 0,9772 \\
\hline
2,5 & 0,9938 \\
\hline
3 & 0,9987 \\
\hline
\end{array}
$$

Hilesiz bir zar $720$ kez atılıyor. Üst yüzüne en çok $105$ defa $3$ gelmesi olasılığı aşağıdakilerden hangisine daha yakındır?

$
\textbf{a)}\ 0,0668
\qquad\textbf{b)}\ 0,0968
\qquad\textbf{c)}\ 0,1587
\qquad\textbf{d)}\ 0,1841
\qquad\textbf{e)}\ 0,2119
$

Lokman Gökçe:
Yanıt: $\boxed{A}$

Bu bir binom dağılımı olup $n=720$ deneme için, dağılım fonksiyonu normal dağılıma yaklaşır.
Zarın üst yüzüne $3$ gelmesi olasılığı $p=\dfrac{1}{6}$, $3$ gelmemesi olasılığı $q = \dfrac{5}{6}$
Beklenen değer $\mu = np = 720\cdot \dfrac{1}{6} = 120$
Varyans $\sigma^2 = npq = 720\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6} = 100$
Standart sapma $\sigma = \sqrt{100} = 10$

olur. Problemde istenen olasılık $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6})$ olur. $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ z-puanı dönüşümünü kullanırsak $X=105$ için $Z=-1,5$ bulunur. Böylece istenen olasılık yaklaşık olarak $\text{N}(Z\leq -1,5)$ tir.

$\text{N}(Z\leq -1,5) = \text{N}(Z\geq 1,5) = 1 - \text{N}(Z\leq 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668$  elde edilir.



Not: $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6})$ için daha hassas bir hesaplama yapmak istersek $X=105,5$ düzeltme değerini kullanarak daha doğru bir sonuca ulaşabiliriz. Bu halde $\text{N}(Z\leq -1,45)$ değerine ihtiyaç vardır. Hesaplama programları veya z-cetveli kullanılarak $\text{N}(Z\leq -1,45) =  0,073529$ olur.

Öte yandan, problemin tam yanıtı için binom dağılımını kullanmalıyız. $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6}) \approx 0,0717$ dir. $0,0668$ değeri, $0,0717$ gerçek değerine diğer seçeneklerden daha yakındır.

Navigasyon

[0] Mesajlar