Fantezi Cebir > Kombinatorik

Açıları tam sayı olan geniş açılı üçgenlerin sayısı

(1/1)

geo:
Benzer üçgenler aynı sayılmak üzere; açıları derece cinsinden pozitif tam sayı olan tüm farklı üçgenleri düşünelim. Bunlardan rastgele seçilen birinin geniş açılı olma olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\  \dfrac 13 \qquad \textbf{b)}\  \dfrac 12 \qquad \textbf{c)}\  \dfrac {2}{3} \qquad \textbf{d)}\  \dfrac {11}{15} \qquad \textbf{e)}\  \text{Hiçbiri} $

geo:
$1\leq A, 1\leq  B, 1\leq C$ üçgenin açılarının derece cinsinden ölçüleri olsun. $A^\circ+B^\circ+C^\circ=180^\circ$.
$A^\prime = A-1$, $B^\prime = B-1$, $C^\prime = C-1$ olmak üzere $A^\prime + B^\prime + C^\prime = 177$ denkleminin negatif olmayan tam sayılarda $\binom{177+3-1}{3-1}=\binom{179}{2}=15931$ çözümü vardır.
Dolayısıyla sıra gözeterek $15931$ üçgen saydık.
Sıra gözetmeden saymak için şöyle bir yol izleyelim:
$A,B,C$ açılarından üçü de birbirinden farklı ise sırası önemsiz her üçgeni $3!=6$ kez saymış oluyoruz.
$A,B,C$ nin tam olarak ikisi aynı ise her üçgen $3!/2!=3$ kez sayılmış olacak. Bu durumda $(1,1,178)$, $(2,2,176)$, $\ldots$, $(59,59,62)$ ,$(61,61,58)$, $\ldots$, $(89,89,2)$ şeklinde $88$ sırasız üçlü olacak.
$A,B,C$ nin üçü de birbirinin aynısı ise her üçgen $1$ kez sayılmış olacak. Bu şekilde tek bir $(A,B,C)=(60,60,60)$ sırasız üçlü vardır.
Sırasız saydığımız her üçgeni $3!=6$ kez saydığımızda $6\cdot n=15931+3\cdot 88 + 5\cdot 1 = 16200 \Rightarrow
n=2700 $ elde ederiz. Tüm durumların sayısını bulmuş olduk.

Şimdi de geniş açılı üçgenlerin sayısını bulalım.
$A\leq B< 90 < C$ olsun.
$A+B = 89$, $A+B=88$, $\ldots$, $A+B=2$ olabilir.

$A+B = 89$ için $A\in \{1,2,\dots, 44 \}$ olduğundan $44$ çözüm,
$A+B = 88$ için $A\in \{1,2,\dots, 44\}$ olduğundan $44$ çözüm,
$A+B = 87$ için $A\in \{1,2,\dots, 43\}$ olduğundan $43$ çözüm,
$A+B = 86$ için $A\in \{1,2,\dots, 43\}$ olduğundan $43$ çözüm,
$\vdots$
$A+B = 4$ için $A\in \{1,2\}$ olduğundan $2$ çözüm,
$A+B = 3$ için $A\in \{1\}$ olduğundan $1$ çözüm,
$A+B = 2$ için $A\in \{1\}$ olduğundan $1$ çözüm olacaktır.
Toplamda $2\cdot \dfrac{44\cdot 45}{2}=44\cdot 45=1980$ tane geniş açılı sırası önemli olmayan üçgen vardır.

Bu durumda aradığımız olasılık $P=\dfrac{1980}{2700}=\dfrac{44\cdot 45}{45\cdot 60}=\dfrac{44}{60}=\dfrac {11}{15}$ olacaktır.

Navigasyon

[0] Mesajlar