Piyasa Kitaplarındaki Hatalı Sorular > Hatalı Cebir Soruları

Polinom Sorusu

(1/1)

alpercay:
Bir  TYT-AYT deneme sınavında sorulmuş.

Baş katsayısı $-1$ olan rasyonel katsayılı $3.$ dereceden bir $P(x)$ polinomu için $$P(\sqrt {3}+1)=2(\sqrt{3}-1)$$ eşitliği veriliyor.

Buna göre $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
 
$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 7$

Metin Can Aydemir:
Polinom $P(x)=-x^3+Ax^2+Bx+C$ olsun. $\sqrt{3}+1=a$ dersek, $P(a)=2(a-2)=2a-4$ olur. $a$'nın eşleniğine $\overline{a}$ dersek (kompleks eşlenikle karıştırmayalım), yani $\overline{a}=1-\sqrt{3}$ için eşleniklik toplamda ve çarpımda korunduğundan, yani $$\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$$ $$\overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{xy}$$ olacağından $$P(\overline{a})=-\overline{a}^3+A\overline{a}^2+B\overline{a}+C=\overline{-a^3+Aa^2+Ba+C}=\overline{P(a)}=2\overline{a}-4$$ olacaktır. Yani $Q(x)=P(x)-2x+4$ dersek, $-\sqrt{3}+1$ ve $\sqrt{3}+1$ polinomları $Q$'nun kökleri olur. Aynı zamanda $Q$'nun da katsayıları rasyonel olduğundan $r\in\mathbb{Q}$ olacak şekilde $Q(x)=-(x-\sqrt{3}-1)(x+\sqrt{3}-1)(x-r)$ olarak yazabiliriz. Başka bir deyişle $$P(x)=-(x^2-2x-2)(x-r)+2x-4$$ olarak yazılabilir. Katsayıların toplamı $P(1)$ olduğundan cevap $$P(1)=3(1-r)-2=1-3r$$ bulunur. $r$ ile ilgili ekstra bir bilgi verilmediğinden dolayı katsayıların toplamı hakkında net bir bilgi veremeyiz.

Lokman Gökçe:
Soru hatalıdır.

Çözüm: $a,b,c$ rasyonel sayılar olmak üzere $P(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$ diyelim. $P(\sqrt{3} + 1) = 2(\sqrt{3}- 1)$ verildiğinden
$$ -(\sqrt{3} + 1)^3 + a(\sqrt{3} + 1)^2 + b(\sqrt{3} + 1) + c = 2\sqrt{3} - 2 $$
olur. $c = \sqrt{3}(-2a-b+8) + (-2a-b+8)$ olup $\sqrt{3}$ içeren terimlerin katsayılarını eşitleyelim. Ayrıca rasyonel terimleri de birbirine eşitleyelim. $2a+b = 8$ ve $c = -2a-b+8$, $c=0$ olur. Katsayılar toplamı $-1 + a + b + c = -1 + a + (8-2a) + 0 = 7 - a$ bulunur. Cevap $7-a$ olup $a$ değişkenine bağlı olduğundan, katsayılar toplamından sabit bir değer elde edilemez.

alpercay:
Teşekkürler. Yanıt $7$ olarak verilmiş. Sanırım Antalya Matematik Olimpiyatı 2015 sorusundan esinlenilmiş.
https://geomania.org/forum/index.php?topic=8297.0

Lokman Gökçe:
Sorunun kalitesinden etkilenip "bir benzerini de ben yazayım" diye düşünülebiliyor. Fakat yazar, sorunun altyapısını oluşturan teorik bilgilere pek vakıf değilse bu tür hatalar ortaya çıkabiliyor.

Navigasyon

[0] Mesajlar