İkinci eşitlikte her tarafı $xyz=1$ ile çarparsak, $$xy^2(y-x^2)+yz^2(z-y^2)+x^2z(x-z^2)=0$$ elde edilir. Düzenlersek, $$xy^3+yz^3+zx^3=x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2$$ elde edilir. Sol tarafa $x^2y^2z^2=1$, sağ tarafa $xyz=1$ ekleyip tek tarafta toplarsak $$(x^2-y)(y^2-z)(z^2-x)=0$$ elde edilir.
Genelliği bozmadan $x^2=y$ olsun. Bu durumda $z=\frac{1}{x^3}$ olacaktır. Şimdi $x,x^2,\frac{1}{x^3}$ terimlerini sıralayalım. $x=1$ ise hepsi birbirine eşit olacağından herhangi birini ortanca kabul edebiliriz.
$x>1$ ise $x^2>x>1>\frac{1}{x^3}$ olacağından $x$ ortancadır.
$x<1$ ise $x^2<x<1<\frac{1}{x^3}$ olacağından yine $x$ ortancadır. Dolayısıyla $x$ her zaman ortancadır diyebiliriz. Bu durumda aradığımız oran $$\frac{x^2+\frac{1}{x^3}}{x}=\frac{x^5+1}{x^4}$$ olacaktır. Aritmetik-Geometrik ortalama kullanmak için $x^5$'i $n$ parçaya bölelim. Bu durumda $$\frac{x^5+1}{n+1}=\frac{\frac{x^5}{n}+\frac{x^5}{n}+\cdots+\frac{x^5}{n}+1}{n+1}\geq \sqrt[n+1]{\frac{x^{5n}}{n^n}}$$ olur. Kök kısmından $x^4$ gelmesi için $n=4$ seçmeliyiz. Buradan $$\frac{x^5+1}{5}\geq \sqrt[5]{\frac{x^{20}}{4^4}}=\frac{x^4}{2^{\frac{8}{5}}}\implies \boxed{\frac{x^5+1}{x^4}\geq \frac{5}{2^{\frac{8}{5}}}}$$ elde edilir. Eşitlik durumu da $x^5=4$ yani $x=2^{\frac{2}{5}}$'dir.
