Fantezi Cebir > Analiz-Cebir

JBMO TST Deneme Sınavı 2016 Soru 1

(1/1)

Cafer2828:
$n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere çarpımları $1$'e eşit olan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$(a^n+b^n+c^n)^2\geq (a+b)(b+c)(3-b)+K$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini belirleyiniz.

Hüseyin Yiğit EMEKÇİ:
$a=b=c=1$  için $K\leq 1$ elde edilir. $K=1$ olduğunu gösterelim. Öncelikle $n$ pozitif tam sayısından kurtulalım. $abc=1$ olduğundan
$$\left(a^n+b^n+c^n\right)^2\geq \left(\dfrac{(a+b+c)^n}{3^{n-1}}\right)^2=\dfrac{(a+b+c)^{2n}}{3^{2n-2}}\geq (a+b+c)^2$$
Dolayısıyla eşitsizlik şuna dönüşür
$$(a+b+c)^2\geq (a+b)(b+c)(3-b)+1$$
Her iki taraftaki ifadeler açıldığında
$$a^2+b^2+c^2+ab^2+b^2c+b^3\geq ab+bc+ca+3b^2$$
Ki bu ifade $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ eşitsizliği kullanıldıktan sonra
$$ab^2+b^2c+b^3\geq 3\sqrt[3]{ab^7c}=3b^2$$
şeklinde Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği'nden barizdir.

Not:
Problemin çözümünde $n$ 'e dair çok birşey yapmadığımızdan dolayı eşitsizliğin zayıf olduğu söylenebilir.

Navigasyon

[0] Mesajlar