Toplamın Karesi İle İlgili Temel Bir Eşitsizlik

[Lokman Gökçe]

$a,b,c$ gerçel sayılar iken $(a+b+c)^2\geq 3 (ab+bc+ca)$ eşitsizliğini biliyoruz. Bir isme ithaf edilemeyecek kadar temel olduğunu düşündüğüm bu eşitsizliğin bir genellemesini verelim.


Teorem: $a_1, a_2, \dots, a_n$ gerçel sayılar olmak üzere $$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 \geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j $$ eşitsizliği vardır. Eşitlik durumu ancak ve ancak $a_1=a_2=\cdots = a_n$ iken geçerlidir.

[Lokman Gökçe]

İspat: Tam kare özdeşliğini yazalım,

$$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\left(\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j \right) \tag{1}$$

olur. Öte yandan, $\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j\leq n} (a_i^2 + a_j^2)}$ toplamını incelersek her bir $a_i^2$ teriminin $n-1$ defa göründüğünü anlarız. Böylece,

$$  \sum_{i=1}^n a_i^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum_{1\leq i<j\leq n} (a_i^2 + a_j^2) $$

eşitliğini yazabiliriz. $(a_i-a_j)^2 \geq 0$ tam kare eşitsizliğinden $a_i^2 + a_j^2 \geq 2a_i a_j$ olduğundan

$$  \sum_{i=1}^n a_i^2 \geq \dfrac{2}{n-1} \left( \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i a_j \right) \tag{2}$$

eşitsizliği elde edilir. $2 + \dfrac{2}{n-1} = \dfrac{2n}{n-1}$ olduğundan; $(1)$ ve $(2)$ den,

$$ (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 \geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i <j\leq n }a_ia_j $$

sonucuna ulaşılır. Eşitlik durumu analizi için  $(a_i-a_j)^2 \geq 0$ tam kare eşitsizliği göz önüne alınırsa, Yalnızca $a_1=a_2=\cdots = a_n$ iken eşitliğin sağlanacağını anlarız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problemin Yeniden Düzenleme Eşitsizliği/ Muirhead Eşitsizliği ile de çözümü bulunmaktadır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İkinci İspat
Maclaurin Eşitsizliği'ni kullandığımızda $n=1,2$ durumları karşılaştırıldığında
$$\sqrt{d_2\left(x\right)}\leq d_1\left(x\right) \quad \text{||} \quad d_k\left(x\right)=\dfrac{E_{k}\left(x\right)}{\dbinom{n}{k}}=\dfrac{\sum\limits_{J\subseteq {1,\cdots,n}\atop Card\left(J\right)=k}{\prod\limits_{i\in J}{x_i}}}{\dbinom{n}{k}}$$
$$\Rightarrow \dfrac{\sum\limits_{1\leq i<k\leq n}{x_ix_j}}{\dbinom{n}{2}}\leq \dfrac{\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2}{n^2}$$
elde ederiz.
Dolayısıyla
$$\left(\sum_{cyc}{a_1}\right)^2\geq \dfrac{n^2}{\dbinom{n}{2}}\sum_{1\leq i<k\leq n}{x_ix_j}=\dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i<k\leq n}{x_ix_j}$$
sonucu çıkar ve ispatı böylelikle tamamlarız. Maclaurin Eşitsizliği bu problemdeki gibi birçok problemde altermatif çözüm üreten geniş bir eşitsizlik teoremidir.