Gönderen Konu: Genelleştirilmiş Türkiye TST 2007 #3 {çözüldü}  (Okunma sayısı 3473 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Genelleştirilmiş Türkiye TST 2007 #3 {çözüldü}
« : Eylül 10, 2023, 10:06:58 ös »
(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c$ pozitif reeller, $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=\dfrac{k+1}{2k}$ ise


$$\dfrac{1}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}+\frac{1}{kbc+(k+1)a^2+(k+1)a}+\frac{1}{kca+(k+1)b^2+(k+1)b}$$
$$\geq \frac{1}{k(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ekim 15, 2023, 10:41:05 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Türkiye 2007 TST #5
« Yanıtla #1 : Eylül 10, 2023, 10:13:35 ös »
Örnek-)

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $a+b+c=\frac{3}{4}$ ise


$$\frac{1}{2ab+3c^2+3c}+\frac{1}{2bc+3a^2+3a}+\frac{1}{2ca+3b^2+3b}\geq \frac{1}{2(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Eylül 10, 2023, 10:15:56 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genelleştirilmiş Türkiye 2007 TST #3
« Yanıtla #2 : Eylül 23, 2023, 09:13:09 ös »
1-) Çözümü

$$\sum_{cyc}{\dfrac{k(ab+bc+ca)}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}}\geq 1$$

$$\dfrac{k(ab+bc+ca)}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}\geq \dfrac{ab}{ab+bc+ca}$$
Yukarıdaki eşitsizlik sağlanırsa ispatın biteceği açıktır.
$$k(ab+bc+ca)^2=ka^2b^2+kb^2c^2+kc^2a^2+2kabc(a+b+c)\geq ka^2b^2+(k+1)abc^2+(k+1)abc$$
$$kb^2c^2+kc^2a^2+2kabc(a+b+c)\geq (k+1)(abc^2+abc)$$
$a+b+c=\dfrac{k+1}{2k}$ olduğunu hatırlar isek ve yerine koyarsak
$$kb^2c^2+kc^2a^2+2kabc(a+b+c)\geq kb^2c^2+kc^2a^2+(k+1)(a+b+c)\geq (k+1)(abc^2+abc)$$
$$\rightarrow kb^2c^2+kc^2a^2\overbrace{\geq}^{AGO} 2kabc^2\geq (k+1)(abc^2)$$
$$2k\geq k+1$$
$k\geq 1$ olduğundan bu ifade doğrudur. İspat biter.
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal