Eşitsizlik --3-- {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)
$a,b,c,x,n\in \mathbf{R^+}$ pozitif reeller, $i,j,s\geq 1$ tamsayılar,  $n\geq 4$ ve $k\geq 2$ olmak üzere


                                      $$\displaystyle \sum_{k=a}^c {\sqrt[\dbinom{
n-1}{2}]{\frac{xa^{4m(n-1)!} +4x}{\prod_{i+j+s=n}{(ia+jb+sc)}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{2}]{4x}.2.\binom{n+1}{2}\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{n(n+1)}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Sorunun genelleştirilmiş hali için buraya bakabilirsiniz. Zira genel halinde $p=3$ verilirse :

$$\displaystyle \sum_{k=a}^c {\sqrt[\dbinom{ n-1}{2}]{\frac{xa^{4m(p-1)!} +4x}{\prod_{i+j+s=n}{(ia+jb+sc)}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{p-1}]{2kx}.2.\binom{n+1}{p-1}\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m(p-1)!-1}}{n(n+1)}=\sqrt[\dbinom {n-1}{2}]{4x}.\binom{n+1}{2}.2\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{4m-1}}{n(n+1)}$$

elde edilir. Soruyu zorlaştırabilmek veya geliştirebilmek için paydaya en azından $p=3$ iken $ab+bc+ca$ da eklenebilir.