Gönderen Konu: Binom Katsayıları ile Eşitsizlikleri Birleştirme {çözüldü}  (Okunma sayısı 3343 defa)

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 790
  • Karma: +2/-0
(Hüseyin Emekçi)
$y_{1},y_{2},...,y_{n},x,p,n\in \mathbf{R^+}$ pozitif reeller ve $n> p>2$ tamsayılar sağlanıyor, $a_{1},a_{2},...,a_{n}\geq 1$ tamsayılar, $m\geq 1$ olmak üzere


                                      $$\displaystyle \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{
n-1}{p-1}]{\frac{xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}} +k^2x}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}\geq \sqrt[\dbinom {n-1}{p-1}]{2xk}.2\binom{n+1}{p-1}\frac{\left(\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}}{n(n+1)}$$


olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumu ne zaman sağlanır, belirleyiniz.

Lemmanın özel halleri için eşitsizlik 3 ve eşitsizlik 4 e bakabilirsiniz
« Son Düzenleme: Eylül 08, 2023, 07:47:14 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 790
  • Karma: +2/-0
Ynt: Binom Katsayıları ile Eşitsizlikleri Birleştirme
« Yanıtla #1 : Ağustos 27, 2023, 01:28:48 ös »
Öncelikle,
$xy_{1}^{t}+k^2x\geq 2xky_{1}^{\frac{y}{2}}$ olduğunu gösterelim.

$$xy_{1}^{t}+k^2x=\overbrace{\frac{y_{1}^{t}}{k}+\frac{y_{1}^{t}}{k}+\cdots+\frac{y_{1}^{t}}{k}}^{xk}+\overbrace{k+k+\cdots+k}^{xk}\geq 2xky^{\frac{txk}{2xk}}=2xky^{\frac{t}{2}}$$

O zaman paydadaki ifade için
$$xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}}+k^2x\geq 2xky_{1}^{\frac{2m(n-1)!}{(n-p)!}}$$

$$\displaystyle \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{ n-1}{p-1}]{\frac{xy_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}} +k^2x}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}\geq \sum_{y_{i},i=1}^{i=p} {\sqrt[\dbinom{ n-1}{p-1}]{\frac{2xky_{1}^{\frac{2m(n-1)!}{(n-p)!}}}{\prod_{a_{1}+a_{2}+...+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{p}y_{p})}}}}$$         

$$=\frac{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1)}]{2xk}\left(y_{1}^{2m(p-1)!}+y_{2}^{2m(p-1)!}+\cdots+y_{p}^{2m(p-1)!}\right)}{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{\prod_{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{p}=n}{(a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots+a_{p}y_{p})}}}\geq \frac{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1)}]{2xk}.2\left(y_{1}^{2m(p-1)!}+y_{2}^{2m(p-1)!}+\cdots+y_{p}^{2m(p-1)!}\right)}{\left[\frac{(n-p+1)(n-p+2)(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p})}{\dbinom{n-1}{p-1}}\right]}$$  (1)

$$\geq \frac{\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1)}]{2xk}.2\left(\frac{\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}\right)^{2m(p-1)!}}{p^{2m(p-1)!}.p}\right)}{\left[\frac{(n-p+1)(n-p+1)(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p})}{\dbinom{n-1}{p-1}}\right]}$$  (2)

$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.2\left[\frac{\dbinom{n-1}{p-1}}{(n-p+1)(n-p+2)}\frac{(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p})^{2m(p-1)!-1}}{p^{2m(p-1)!-1}}\right]$$

$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\frac{(n-1)!}{(n-p)!(n-p+1)(n-p+2)(p-1)!}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}$$

$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\frac{(n-1)!}{(n-p+2)!(p-1)!}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\frac{(n+1)!}{(n-p+2)!(p-1)!}.\frac{(n-1)!}{(n+1)!}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}$$

$$=\sqrt[\dbinom{n-1}{p-1}]{2xk}.\dbinom{n+1}{p-1}.\frac{1}{n(n+1)}.2\left(\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{p}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}=\sqrt[\dbinom {n-1}{p-1}]{2xk}.\binom{n+1}{p-1}.2\frac{\left(\frac{y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{p}\right)^{2m(p-1)!-1}}{n(n+1)}$$
İspat biter.

Püf Noktalar: Çarpım sembolü içerisindeki ifadenin kaç terimin çarpımı olduğunu binom katsayılarından biliyoruz. $=> \dbinom{n-1}{p-1}$ dir. ($n$ topu $p$ kutuya $n\geq p$ olmak üzere her kutuda en az bir top bulunacak şekilde kaç farklı biçimde yerleştirilebilir sorusu ile cevaplayabiliriz. Soruda $a_{1},a_{2},\cdots,a_{p}\geq 1$ tamsayılar olduğu belirtildiğini hatırlayalım.) Geometrik ortalama sonrası $y_{1}$ in katsayısı, $1-> n-p+1$ e doğru gider (geri kalanlar en az 1 olduğundan). Sonrasında da Gauss toplamı uygularız.

(1) de Geometrik-Aritmetik Ortalama , (2) de ise Genelleştirilmiş Faydalı Eşitsizlik kullandık. Geri kalan kısımda ise ifadeyi düzenledik.

Eşitlik durumu kulandığımız aritmetik-geometrik ortalamadan $y_{1}^{\frac{4m(n-1)!}{(n-p)!}}=k^2$ ve geometrik-aritmerik ortalamadan $a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}=\cdots=a_{p}y_{p}$ ve de Genelleştirilmiş Faydalı Eşitsizlik(veya Kuvvet Ortalaması E.) kullandığımızdan $y_{1}=y_{2}=\cdots=y_{p}$ ve dolayısıyla da $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{p}$ için sağlanır.
« Son Düzenleme: Eylül 06, 2023, 09:42:48 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal