Gönderen Konu: 2007 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 3  (Okunma sayısı 1330 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
$1+4^x+4^y=z^2$ denkleminin pozitif tam sayılardaki tüm çözümlerini bulunuz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.307
  • Karma: +9/-0
Genelliği bozmadan $x\geq y$ olsun. $z>2^x$ olduğu barizdir. Ayrıca $z$ tek olduğundan dolayı $k$ pozitif tek sayısı için $z=2^x+k$ diyebiliriz. Yerine yazarsak, $$4^x+k^2+2^{x+1}k=1+4^x+4^y\implies k^2-1=2^{2y}-2^{x+1}k$$ olur. $k=1$ ise $2y=x+1$ bulunur. Dolayısıyla $n\geq 1$ için $y=n$ dersek, $(x,y,z)=(2n-1,n,2^{2n-1}+1)$ çözümü bulunur.

$k\geq 3$ için $z>2^x+1$ olacağından $2y>x+1$ olur. Dolayısıyla $2^{x+1}\mid k^2-1$ olur. $(k-1,k+1)=2$ olduğundan $2^x$ sayısı ya $k-1$'i ya da $k+1$'i böler.

$2^x\mid k-1$ ise $m\geq 1$ için $k=2^x\cdot m+1$ yazalım. $$(2^x\cdot m+1)^2-1=2^{2y}-2^{x+1}(2^x\cdot m+1)$$ $$\implies 2^{x-1}m^2+m=2^{2y-x-1}-2^{x}m-1$$ $$\implies 2^{x-1}m^2+(2^x+1)m+1=2^{2y-x-1}\leq 2^{x-1}$$ çelişkisi elde edilir.

$2^x\mid k+1$ ise $m\geq 1$ için $k=2^x\cdot m-1$ yazarsak, $$(2^x\cdot m-1)^2-1=2^{2y}-2^{x+1}(2^x\cdot m-1)$$ $$\implies 2^{x-1}m^2+(2^x-1)m=2^{2y-x-1}+1\leq 2^{x-1}+1$$ elde edilir. Eşitsizliğin sağlanması için $m=x=1$ olmalıdır. Bu durumda $x\geq y$ olduğundan $(1,1,3)$ çözümü elde edilir ancak bu daha önce bulduğumuz çözüm formatındaki $n=1$ durumuna eşittir. Buradan yeni bir çözüm gelmez.

Dolayısıyla tüm çözümler $n\in\mathbb{Z}^+$ için $(x,y,z)=(2n-1,n,2^{2n-1}+1)$ şeklindedir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal