Çözüm [Lokman Gökçe]: Önce en temel durum olan bir birim karenin seçilmiş olması durumuna bakalım. Bu karenin siyah olduğunu düşünebiliriz. $S=4$, $B=0$, $s=1$, $b=0$ olduğundan $S - B = 4(s-b)$ bağıntısının sağlandığını görürüz.
Şimdi birer birer (önceki karelerden biriyle ortak kenara sahip) yeni komşu kareler seçerek çokgenimizi büyüttüğümüzü düşünelim. Yukarıdaki örnek çokgeni göz önüne alalım. Şekilde $S=21$, $B=17$, $s=13$, $b=12$ olup $S - B = 4(s-b)$ bağıntısı sağlanır.
Örneğin $A$ hücresi gibi, çokgenle yalnız bir ortak kenarı olan bir kareyi daha birleştirirsek $1$ beyaz kare artışı olmuş olur. Bu halde beyaz kenar sayısı $3$ artarken siyah kenar sayısı $1$ azalacaktır. Yeni durumdaki değerler $S_1, B_1, s_1, b_1$ olmak üzere $S_1 = S-1$, $B_1 = B + 3$, $s_1=s$, $b_1 = b + 1$ olup $S_1 - B_1 = 4(s_1 - b_1)$ bağıntısı sağlanır. Benzer durumun, $C$ hücresine bir siyah kare eklendiğinde de geçerli olduğu görülebilir.
Şimdi $B$ hücresi gibi, çokgenle iki ortak (ve aynı renge sahip) bir kareyi birleştirirsek $1$ beyaz kare artışı olmuş olur. Bu halde beyaz kenar sayısı $2$ artarken siyah kenar sayısı $2$ azalacaktır. Yeni durumdaki değerler $S_1, B_1, s_1, b_1$ olmak üzere $S_1 = S-2$, $B_1 = B + 2$, $s_1=s$, $b_1 = b + 1$ olup $S_1 - B_1 = 4(s_1 - b_1)$ bağıntısı sağlanır.
Şimdi $D$ hücresi gibi, çokgenle üç ortak (ve aynı renge sahip) bir kareyi birleştirirsek $1$ beyaz kare artışı olmuş olur. Bu halde beyaz kenar sayısı $1$ artarken siyah kenar sayısı $3$ azalacaktır. Yeni durumdaki değerler $S_1, B_1, s_1, b_1$ olmak üzere $S_1 = S-3$, $B_1 = B + 1$, $s_1=s$, $b_1 = b + 1$ olup $S_1 - B_1 = 4(s_1 - b_1)$ bağıntısı sağlanır.
Böylece, tüm yeni kare ekleme durumlarında $S - B = 4(s-b)$ bağıntısının geçerli olduğunu anlarız.
Öte yandan, problemde sorulmamış olsa da bazı uç durumları irdeleyebiliriz. $E$ hücresine kare ekleyip $D$ nin boş bırakılması veya $F$ hücresine kare ekleyip $D, E$ nin boş bırakılması gibi "delinmiş çokgen" oluşması durumlarında da $S - B = 4(s-b)$ bağıntısı geçerlidir. Yine, çokgenle ortak kenar içermeyen $G$ hücresine kare eklenmesi durumunda da $S - B = 4(s-b)$ bağıntısının sağlanacağı kolayca görülebilir.
