Gönderen Konu: 2001 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4  (Okunma sayısı 3984 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2001 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4
« : Temmuz 29, 2023, 05:30:54 ös »
$x,m,n >1$ tam sayılar olmak üzere, $(x+1)^m-x^n=1$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,m,n)$ sıralı üçlülerini bulunuz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.280
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2001 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4
« Yanıtla #1 : Ocak 13, 2024, 06:43:29 ös »
$v_p(n)$ ile $n$'yi bölen en büyük $p$'nin kuvvetinin üssünü gösterelim, örneğin $v_3(54)=3$'dür. Verilen eşitliği inceleyelim. $$(x+1)^m=x^n+1\implies x^n+1\equiv (-1)^n+1\equiv 0\pmod{x+1}$$ olur. Eğer $n$ çiftse $x>1$ olduğundan çelişki olur. $n$ tektir.

Eğer $x$ tekse, kuvvet kaydırma teoreminden, $2\mid x+1$ ve $n$ tek olduğundan $$v_2(x^n+1)=v(x+1)$$ olur. $v_2(x^n+1)=mv_2(x+1)$ olması gerektiğinden $m=1$ olmalıdır, bu da bir çelişkidir. $x$ çifttir.

$x+1$ tek sayı olduğundan ve $x+1>2$ olduğundan tüm asal bölenleri tektir. $p\mid x+1$ olan herhangi bir $p$ için $v_p(x+1)=k$ ise $v_p((x+1)^m)=mk$'dır. Ayrıca, kuvvet kaydırma teoreminden, $$v_p((x+1)^m)=mk=v_p(x^n+1)=v_p(x+1)+v_p(n)\implies v_p(n)=mk-k=(m-1)v_p(x+1)$$ elde edilir. Hem $x+1$, hem de $n$ tek olduğundan $(x+1)^{m-1}\mid n$'dir. Yerine yazarsak, $$n(x+1)\geq (x+1)^m=x^n+1\implies n\geq \frac{x^n+1}{x+1}$$ olur. $n>1$ olduğundan $\frac{x^n+1}{x+1}$ artandır (bu ifadeyi sadeleştirerek veya türevini alarak kolayca görebilirsiniz). Dolayısıyla $$n\geq \frac{2^n+1}{2+1}\implies 3n\geq 2^n+1$$ bulunur. Üstel fonksiyon, lineer fonksiyona göre çok hızlı arttığından eşitsizliğin bozulduğu $n$ değerinden sonra sağ taraf hep daha büyük olacaktır. $n\geq 4$ için eşitsizlik bozulduğu için $n=2$ veya $n=3$'dür. $n=2$ için $(x+1)^{m-1}\leq 2$'den çözüm gelmez.

$n=3$ için $3\geq (x+1)^{m-1}$'den $x=2$ ve $m=2$ bulunur. Tek çözüm $\boxed{(x,m,n)=(2,2,3)}$ olacaktır.
« Son Düzenleme: Ocak 13, 2024, 07:07:12 ös Gönderen: Metin Can Aydemir »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal