Gönderen Konu: $3^{39}$  (Okunma sayısı 4399 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
$3^{39}$
« : Haziran 09, 2023, 10:50:44 ös »
$3^{39}$ sayısının ondalık yazımında $1,2,6,7$ rakamları ikişer kez, $3,4,8$ rakamları birer kez geçiyorsa, $5$ rakamı kaç kez geçmektedir?

$\text{A) } 4 \quad \text{B) } 5  \quad \text{C) } 6 \quad  \text{D) } 13 \quad \text{E) } 14 $

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.299
  • Karma: +9/-0
Ynt: $3^{39}$
« Yanıtla #1 : Haziran 10, 2023, 05:41:10 ös »
Cevap: $\boxed{B}$

$5$, $0$ ve $9$ rakamları sırasıyla $a,b,c$ defa geçsin. Bu durumda $3^{39}$ sayısı $11+a+b+c$ rakamlıdır. Ayrıca $3^{39}$ sayısı $9$'a tam bölündüğünden rakamları toplamı da tam bölünür, buradan $$2\cdot(1+2+6+7)+(3+4+8)+5a+0b+9c\equiv 0\pmod{9}\implies 5a\equiv 7\pmod{9}\implies a\equiv 5\pmod{9}$$ bulunur. Yani $a=9k+5$ formatındadır. Eğer $k\geq 1$ ise $a\geq 14$ ve $11+a+b+c\geq 25$ olacaktır. Bu da sayının en az $25$ basamaklı olduğunu ve $10^{24}$'den daha büyük olduğunu söyler. Buradan $$3^{39}\geq 10^{24}\implies 3^{13}\geq 10^8\implies 3^{16}>10^8$$ $$\implies 3^2>10$$ olur fakat bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $k=0$ ve $a=5$ olmalıdır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal