Gönderen Konu: 3 bilinmeyenli denklem  (Okunma sayısı 3532 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
3 bilinmeyenli denklem
« : Nisan 20, 2023, 11:28:14 öö »
Kaç $a$ tam sayısı için $$\begin {array} {rll}
x^2 + y^2 + a^2 &=& 32 \\
x+y-a &=& 8 
\end{array}$$ denklem sisteminin
  • gerçel sayılarda
  • tam sayılarda
çözümü vardır?
« Son Düzenleme: Nisan 20, 2023, 11:34:17 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.299
  • Karma: +9/-0
Ynt: 3 bilinmeyenli denklem
« Yanıtla #1 : Nisan 20, 2023, 02:56:49 ös »
$xy$'i elde etmeye çalışalım. $$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(a+8)^2-(32-a^2)}{2}=a^2+8a+16$$ bulunur.

$(a)$ Kökleri $x$ ve $y$ olan bir ikinci dereceden polinom yazalım. Bu polinom $P(t)=t^2-(8+a)t+(a^2+8a+16)$'dir. Diskriminanttan $\Delta\geq 0$ olmalıdır. Dolayısıyla $$(8+a)^2-4(a^2+8a+16)\geq 0\iff 0\geq 3a^2+16a\iff a\in \left[ -\frac{16}{3},0\right ]$$ Yani $a=-5,-4,-3,-2,-1,0$ olabilir. Bu değerler için denklem sisteminin gerçel sayılarda çözümü vardır.

$(b)$ Tam sayılar da gerçel sayılar olduğundan $a\in\{-5,-4,-3,-2,-1,0\}$ olmalıdır. Bu sayıların hangisinde $\Delta=(8+a)^2-4(a^2+8a+16)=-3a^2-16a$'nın tamkare olduğuna bakmalıyız. $a=-4,0$ için tamkare olur. Bu değerler için de $(x,y)=(4,4)$ ve $(0,4),(4,0)$ çözümleri bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: 3 bilinmeyenli denklem
« Yanıtla #2 : Nisan 30, 2023, 11:27:08 öö »
Bu soru tipi Lise 1. Aşama 1995/19 ta sorulmuş.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal