Üniversite Hazırlık Cebir > Üniversite Hazırlık Cebir

Küme

(1/1)

hope:
Tesekkür ederim

Lokman Gökçe:
Yanıt: $\boxed{B}$


Çözüm: İstenen özellikteki bir küme ardışık eleman içermemelidir. Örneğin $\{ 2, 4, 6, 8\}$ istenen bir kümedir. Bu kümeyi $-x-x-x-x-$ sembolü ile gösterelim. $x$ ler seçilen sayıları, $-$ ler seçilmeyen sayıları göstermektedir. $-$ sembollerinin sayısı sırasıyla $x_1, x_2, x_3,x_4,x_5$ tane olsun.  $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 9-4 = 5$ olmalıdır. Ayrıca, ardışık eleman içermeme koşulundan dolayı $x2,x_3,x_4\geq 1$ olmalıdır. Böylece $x_2 = x_2' + 1, x_3 = x_3' + 1, x_4 = x_4' + 1$ denirse
$$ x_1 + x_2' + x_3' + x_4' + x_5 = 5-3=2 $$
denkleminin negatif olmayan tam sayılar kümesindeki çözüm sayısını hesaplamalıyız. Dağılım prensibi gereğince bu denklemin çözüm sayısı $\dbinom{5+2-1}{2} = 15$ dir.


Not: Genel olarak herhangi iki elemanı arasındaki fark mutlak değerce en az $m$ ($m$ verilmiş bir pozitif tam sayı) olan kümelere $m$-ayrık küme denir. Ardışık eleman içermeme durumu, $m=2$ özel halidir. $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ kümesinin $k$ elemanlı $m$-ayrık alt kümelerinin sayısı da benzer biçimde dağılım prensibi ile $$ \dbinom{n+m+k-km-1}{k} $$ hesaplanabiliyor.

$n=9, m=2, k=4$ için bu değer $\dbinom{6}{4}=15$ olur. 

Navigasyon

[0] Mesajlar