1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Her $x>\sqrt2,\ y>\sqrt2$ için
$$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4 > x^2+y^2$$
eşitsizliğinin sağlandığını kanıtlayınız.

[Lokman Gökçe]

Çözümü, bu çözümü düşündüren fikirlerle beraber açıklayarak sunacağım.

Çözüm [Lokman GÖKÇE]: Verilen eşitsizliğin sol tarafındaki ifade $L= x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4$ dördüncü dereceden homojendir. Sağ taraftaki ifade ise $R = x^2+y^2$ ikinci dereceden homojendir. Klasik eşitsizlikleri uygulayınca derecenin değişmemesini bekleriz. O halde derecenin azalma sebebi ile ilgili bir hile olduğunu düşünmeye başlayabiliriz. $L \geq \dfrac{x^4 + y^4}{2}$ veya $L \geq \dfrac{x^3y + y^3x}{2}$ gibi bir eşitsizlik olabilir. $x^2>2, y^2>2, xy>2$ olduğu kullanılarak $L \geq \dfrac{x^4 + y^4}{2}> x^2 + y^2 = R $ veya $L \geq \dfrac{x^3y + y^3x}{2}>  x^2 + y^2 = R $ elde edilmiş olabilir.

Burada her $x,y>0$ için $L \geq \dfrac{x^3y + y^3x}{2}$  eşitsizliğini kanıtlamayı amaçlıyorum. Buna denk olarak
$$ 2x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^4 \geq 3x^3y + 3y^3x $$
eşitsizliğini göstermeliyiz. Eşitsizliği $y^4$ ile bölersek ve $\dfrac{x}{y} = t$ değişken değiştirmesi yaparsak $t>0$ olmak üzere
$$ 2t^4 + 2t^2 + 2 \geq 3t^3 + 3t $$
eşitsizliğini göstermemiz gerekir. Bunun için de iki yöntem kullanabiliriz:

1. Yöntem: $ P(t) =  2t^4  - 3t^3 + 2t^2 - 3t + 2$ dersek $P(t) \geq 0$ olduğunu göstermeyi deneyeceğiz. $P(t)$, karşıt simetrik olduğundan $t^2$ parantezine alarak başlayalım. $P(t) = t^2 (2t^2 - 3t + 2 - \dfrac{3}{t} + \dfrac{2}{t^2})$ olur. $t + \dfrac{1}{t} = z$ denirse aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $z \geq 2\sqrt{t\cdot \dfrac{1}{t}} = 2$ ve $t^2 + \dfrac{1}{t^2} = z^2 - 2$ olup $2t^2 - 3t + 2 - \dfrac{3}{t} + \dfrac{2}{t^2} = 2z^2 -3z -2 = (2z + 1)(z - 2) \geq 0$ elde edilir. Eşitlik durumu $z=2$, $t=1$, $x=y$ iken vardır. $xy > 2$ olduğunu kullanarak

$$ x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4 \geq \dfrac{x^3y + y^3x}{2} = xy \cdot \dfrac{x^2 + y^2}{2} > x^2 + y^2 $$

elde edilir.


2. Yöntem: $t>0$ olmak üzere $ 2t^4 + 2t^2 + 2 \geq 3t^3 + 3t $ eşitsizliğini göstermek için aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliklerinden faydalanabiliriz.

$$ 2(t^4 + t^2) + 2 \geq 4 \sqrt{t^4 \cdot t^2} + 2 = 4t^3 +2 = 3t^3 + t^3 + 1 + 1 \geq 3t^3 + 3\sqrt[3]{t^3\cdot 1 \cdot 1} = 3t^3 + 3t $$

olup ispat tamamlanır. Eşitlik durumu $t=1$, $x=y$ iken vardır. Yine $xy > 2$ olduğunu kullanarak

$$ x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4 \geq \dfrac{x^3y + y^3x}{2} = xy \cdot \dfrac{x^2 + y^2}{2} > x^2 + y^2 $$

elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Eşitsizliğin iki tarafını da $x+y$ ile çarparsak, $$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4> x^2+y^2\iff x^5+y^5> (x^2+y^2)(x+y)$$ elde edilir. $x^2,y^2>2$ olduğundan $$x^5+y^5>2(x^3+y^3)$$ olacaktır. Dolayısıyla $2(x^3+y^3)\geq (x^2+y^2)(x+y)$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $$2(x^3+y^3)\geq x^3+x^2y+xy^2+y^3\iff x^3-x^2y-xy^2+y^3=(x-y)^2(x+y)\geq 0$$ olduğundan eşitsizlik doğrudur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Muirhead Eşitsizliği'nden $x^4+y^4\geq x^3y+xy^3$ olduğu açıktır. Buna göre

$$LHS=x^4+y^4-x^3y-xy^3+x^2y^2\geq x^2y^2\overbrace{>}^{?} x^2+y^2 \Longleftrightarrow \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)>1$$
elde edilir, ki bu problem koşulu $x,y>\sqrt{2}$ olduğundan doğrudur.