1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeni bir $d$ doğrusu tarafından eşit alanlı iki parçaya ayrılıyor. $d$ doğrusu, $[AB]$'yi $D$ ve $[AC]$'yi $E$ noktasında kesiyor (şekilden izleyiniz).

$$\dfrac{|AD|+|AE|}{|BD|+|DE|+|EC|+|CB|} > \dfrac{1}{4}$$
olduğunu gösteriniz.

[geo]

$AD \geq \dfrac {AB}2$ olmak zorunda aksi halde $\dfrac {[ABC]}{2} > [ADC] \geq [ADE]$.
Benzer şekilde $AE \geq \dfrac {AC}2$.
Taraf tarafa toplarsak $$2(AD+AE)\geq AB+AC \tag{1}$$
Üçgen eşitsizliğinden $AD+AE>DE$ ve $AB+AC>BC$.
Taraf tarafa ekleyip her iki tarafa $BD+CE$ eklersek $$2(AB+AC) > BD+DE+CE+BC \tag{2}$$
$(1)$ ve $(2)$ yi birleştirdiğimizde $4(AD+DE)  \geq 2(AB+AC) > BD+DE+CE+BC$ elde ederiz.