1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Düzlem, satranç tahtasında olduğu gibi karelere bölünmüş ve her kare içine bir doğal sayı yazılmıştır. Şöyle ki, her karedeki sayı dört komşu karedeki (üstteki, alttaki, sağdaki ve soldaki) sayıların aritmetik ortalamasına eşittir. Karelere yazılmış olan tüm sayıların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Arthur Engel'in Problem Solving Strategies kitabında, Extremal Principle (En Büyük Değer-En Küçük Değer Prensibi) bölümünde karşılaştığım bir problemdir. Bu kitaptan öğrendiğim çözümü paylaşacağım:


Çözüm: Karelerde yazılı doğal sayılardan en küçüğü $x$ olsun. Bu kareye komşu olan dört karede yazılı olan doğal sayılar da $a,b,c,d$ olsun. $x\leq a, b, c, d$ dir. Dolayısıyla $4x \leq a+ b + c + d$ olur. Problemde verilen bilgiye göre
$$ x = \dfrac{a+b+c+d}{4} $$
dir. Bu eşitlikten ve önceki eşitsizlikten $x=a=b=c=d$ olduğunu anlarız. Bu yöntemi $x$ yazılı diğer karelere de uygularsak, tüm karelerdeki sayıların eşit olduğu anlarız.