1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Her $k \in \mathbb N$ için $k$'nın rakamları toplamını $T(k)$ ile gösterelim. Bir $n$ doğal sayısı için $T(n)=T(1997n)$ ise $n$ sayısının $9$'un bir katı olduğunu kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Bir sayının $9$ ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının $9$ ile bölümünden kalana eşittir. Yani $$n\equiv T(n)\pmod{9}$$ olur. Verilen eşitlikten $$1997n\equiv n\pmod{9} \iff 1996n\equiv 0\pmod{9}\iff n\equiv 0\pmod{9}$$ sonucuna ulaşılır.