1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 3

[matematikolimpiyati]

$2$'den büyük bir $x$ reel sayısı verilmiş olsun. Osman, $1997$ tane etiketin her biri üzerine, farklı etiketlere farklı sayılar yazmak koşuluyla, $1,x,x^2,x^3,...,x^{1995},x^{1996}$ sayılarından birini yazıyor. Sonra bu etiketlerden bir kısmını sağ cebine, bir kısmını sol cebine koyuyor ve kalanları da çöp kutusuna atıyor. Osman'ın sağ cebindeki sayıların toplamı ile sol cebindeki sayıların toplamının asla birbirine eşit olamayacağını kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Aksini varsayalım. Osman'ın cebindeki sayıların toplamı eşit olsun. $x^{1996}$'nın olmadığı cebi ele alalım. Bu cepteki sayıların toplamı $S$ ise $$S\leq 1+x+x^2+\cdots+x^{1995}=\frac{x^{1996}-1}{x-1}$$ olacaktır. Diğer cepte de $x^{1996}$ olduğundan $S\geq x^{1996}$'dır. Buradan $$x^{1996}\leq \frac{x^{1996}-1}{x-1}\implies x^{1997}-x^{1996}\leq x^{1996}-1$$ $$\implies x^{1997}-2x^{1996}+1\leq 0$$ elde edilir. $x> 2$ olduğundan $x^{1997}>2x^{1996}$ olmalıdır. Buradan da $$1<x^{1997}-2x^{1996}+1\leq 0$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla böyle bir durum mümkün değildir.