Fantezi Geometri > Geometri-Teorem ve İspatlar

Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?

(1/2) > >>

matematikolimpiyati:
Teorem [The College Mathematics Journal, 2004]: Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin Euler Doğrusu'nun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter koşul
$$\tan B \cdot \tan C =3$$
olmasıdır.

alpercay:
Bu soru formda olmalı diye hatırlıyorum fakat göremedim.

matematikolimpiyati:
Ben de biraz aradım ama bulamadım

Lokman Gökçe:
Bu soruyu forumda çözmüştüm diye hatırlıyorum. Ben de bulamadım :) Trigonometri kullanmadığım aşağıdaki çözümüm biraz daha kısa ve zarif olabilir.


Çözüm: $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, ağırlık merkezi (centroid) $G$ olsun. $|AF|=3|GF|$ özelliği vardır. Ayrıca diklik merkezi özelliği olarak $|AD|\cdot |HD| = |BD|\cdot |CD|$ eşitliği geçerlidir. İspatı için Diklik merkezi-Problem 8 bağlantısına bakılabilir. Buna göre, $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{|AD|}{|BD|}\cdot \dfrac{|AD|}{|CD|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} $ olur. Ayrıca $GH$, $ABC$ üçgeninin Euler doğrusudur.


Dolayısıyla

$$ GH \parallel BC \iff \dfrac{|AF|}{|GF|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} \iff |AD| = 3|HD| \iff \tan B \cdot \tan C = 3 $$

elde edilir.

matematikolimpiyati:


$\tan B \cdot \tan C$ ifadesini şöyle de bulabiliriz :

$H$ noktası diklik merkezi olduğu için $m(\widehat{B})=m(\widehat{DHC}) \implies \tan B \cdot \tan C = \dfrac{|CD|}{|HD|} \cdot \dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|AD|}{|HD|}$

Benzer Soru

Navigasyon

[0] Mesajlar

[#] Sonraki Sayfa