Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 09

[matematikolimpiyati]

$3$ kırmızı$,\ 3$ mavi$,\ 3$ yeşil top rasgele sıralandığında$,$ en az iki kırmızı topun yan yana gelme olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{8}{12}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7}{12}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{6}{12}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{12}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{4}{12}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$9$ top $9!$ yolla sıralanabilir. Kırmızı topların ayrık konumda olduğu durumları hesaplayalım. Mavi ve yeşil toplar $6!$ yolla sıralanabilir. Bunların en sağına, en soluna veya aralarına kırmızı topları $7\cdot 6\cdot 5$ yolla yerleştirebiliriz. Böylece kırmızı topların ayrık konumda olma olasılığı $p = \dfrac{7\cdot 6\cdot 5 \cdot 6!}{9!} = \dfrac{5}{12}$ dir. İstenen olasılık ise $1-p = \dfrac{7}{12}$ bulunur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$

Verilen $9$  top $\dfrac{9!}{3!\cdot 3!\cdot 3!}$  yolla sıralanır. $3$  kırmızı top özdeş olduğundan, iki tanesini blok yapıp en az iki yan yana kırmızı top olmasını sağlayabiliriz.

Mavi ve yeşil toplar $\dfrac{6!}{3!\cdot 3!}=20$  yolla, yapılan bir blok ve diğer kırmızı top ise kalan boşluklara $7^2$  yolla yerleştirilebilir. Dolayısıyla en az iki kırmızı top yan yana $7^2\cdot 20$  farklı yolla gelebilir. İstenen olasılık ise $\dfrac{7^2\cdot 20\cdot (3!)^3}{9!}=\dfrac{7}{12}$  dir.