Üniversite Hazırlık Cebir > Üniversite Hazırlık Cebir

Üstlü sayılar {çözüldü}

(1/2) > >>

alpercay:
$x^{x^3}=36$ ise $x$ değeri kaçtır?

Metin Can Aydemir:
Üç durumda inceleyelim,

$x=0$ ise çözüm gelmediği açıktır.

$x>0$ ise her tarafın $\ln$'ini alalım. $$x^3\ln{x}=\ln{36}$$ Bariz şekilde $x>1$ olmalıdır çünkü aksi takdirde sol taraf negatif olacaktır. $x^3$ ve $\ln{x}$ artan olduğundan sol taraf artandır. Dolayısıyla denklemin en fazla bir çözümü vardır. $x=6^a$ dersek, $$6^{a6^{3a}}=6^2\implies a6^{3a}=2\implies a=\frac{1}{3}$$ Yani sadece $x=\sqrt[3]{6}$ çözümünü elde ederiz.

$x<0$ ise $x=-y$ yazalım. Bu durumda denklem $$(-y)^{-y^3}=(-1)^{y^3}\left(\frac{1}{y}\right)^{y^3}=36$$ Negatif bir sayının kuvvetinin tanımlı ve pozitif olması için $y^3$'ün rasyonel ve $\frac{2a}{2b+1}$ formatında olması gerekir (çift bölü tek). Bunu not alırsak, denklemimiz $$\left(\frac{1}{y}\right)^{y^3}=36$$ olur. Her tarafın $\ln$'ini alırsak, $f(y)=-y^3\ln{y}=\ln{36}$ elde ederiz. $f(y)$'nin pozitif olması için $y\in (0,1)$ olmalıdır. $$f'(y)=-3y^2\ln{y}-y^2$$ olur ve $f'(y)=0 \iff y=e^{-1/3}$ olacağından ve sınırlardaki limit $0$ olduğundan maksimum değer $y=e^{-1/3}$ noktasında alınır. Yani $$\max f(y)=f(e^{-1/3})=\frac{1}{3}e^{-1}$$ olduğundan $f(y)=\ln{36}$ denkleminin çözümü yoktur.

Tek çözüm $\boxed{x=\sqrt[3]{6}}$'dır.

alpercay:
Güzel ve açık bırakmayan çözüm için teşekkürler. Ortaokul-lise düzeyinde şöyle çözülebilir:

$36=6^2=((6^{1/3})^3)^2=(6^{1/3})^6=x^{x^3}$ olarak yazılırsa  $$x=6^{1/3}$$ bulunur.

NazifYILMAZ:
Farklı ve kolay bir çözüm daha

alpercay:
Bu da bulunsun.

$(2x)^{x^3}=2^{\frac{1}{12}} $ ise $x$ nedir?

Navigasyon

[0] Mesajlar

[#] Sonraki Sayfa