En büyük değer {çözüldü}

[alpercay]

$a, b, c$ sayma sayıları için $$1/a+1/b+1/c=8/15$$ ise $c$ sayısının en büyük değeri kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{930}$

 
$a$ ve $b$ nin pozitif tam sayı değerlerini olabildiğince küçük seçersek $c$ yi büyütmüş oluruz. Simetriden dolayı, genelliği bozmaksızın $a\leq b \leq c$ kabul edebiliriz. $a=1$ denklemi sağlamaz. $a=2$ alırsak $\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{8}{15} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{30}$ olur. $b>30$ olmalıdır. $b=31$ verirsek $\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{31} = \dfrac{1}{930}$ olup $c_\max=930$ elde edilir.

[alpercay]

Çözüm için $$1/a=1/(a+1)+1/a(a+1) $$ algoritması kullanalım. Bu eşitlik kullanılarak $(0,1]$ aralığındaki her rasyonel sayıyı $n\ge 1$ tam sayısı için $1/n$ şeklindeki kesirlerin(birim kesir) toplamı olarak en az bir şekilde temsil edebiliriz. O zaman $$1/15=1/16+1/15.16$$ şeklinde yazılabilir. $8$ ile genişletirsek $$8/15=1/2+1/30$$ olur. Birim kesir sayısını $3$ yapmak için algoritmayı $1/2$ sayısına tekrar uygularsak $$8/15=1/3+1/6+1/30$$ elde ederiz fakat birim kesirleri isteneni sağlamadığından algoritmayı $1/30$ sayısına uygulayarak $$8/15=1/2+1/31+1/930 $$ bulunur.