Üniversite Hazırlık Geometri > Üniversite Hazırlık Geometri

cos(C) = m/n ise m+n kaçtır?

(1/1)

Lokman Gökçe:
Üniversiteye giriş sınavlarına uygun düzeyde olabileceğini düşündüğüm bir soruyu paylaşacağım:

Problem: $ABC$ üçgeninde $|AC|=4$, $|BC|=5$ ve $\cos (\widehat{A}-\widehat{B}) = \dfrac{7}{8}$ dir. $m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere $\cos (\widehat{C}) = \dfrac{m}{n}$ ise, $m+n$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 27 \qquad\textbf{b)}\ 28 \qquad\textbf{c)}\ 29 \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ 31 $

alpercay:
Yanıt:$\boxed{a}$

$|BC|\gt |AC|$ olduğundan $\widehat{A}\gt \widehat{B}$ olmalıdır. Buna göre $[BC]$ doğru parçası üzerinde $|AD|=|BC|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alırsak $m(\widehat{DAC})=\widehat{A}-\widehat{B}$ olur. $AD$ doğrusunu $D$ yönünde uzatalım ve uzantı üzerine $C$ noktasından indiğimiz dikmenin ayağına $E$ diyelim.
$\cos(\widehat{A}-\widehat{B})=\dfrac{7}{8}=\dfrac{AE}{4}$  eşitliğinden $|AE|=\dfrac{7}{2}$ ve $AEC$ üçgeninde Pisagor teoreminden $|EC|=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$ bulunur.
$D$ noktasından $[AC]$ doğru parçasına indiğimiz dikmenin ayağı $F$ olsun. $AFD$ üçgeninde
$\cos(\widehat{A}-\widehat{B})=\dfrac{7}{8}=\dfrac{AF}{AD}$ olduğundan $|AF|=7k,|CF|=4-7k,|AD|=8k$ diyelim. Bu durumda $|CD|=5-8k$, $|DE|=\dfrac{7}{2}-8k$ olur.
$DEC$ üçgeninde Pisagor teoreminden elde edilen $$(5-8k)^2=(\dfrac{7}{2}-8k)^2+(\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2$$ eşitliğinden $k=\dfrac{3}{8}$ bulunur. Buna göre
$DFC$ üçgeninde $$\cos(\widehat{C})=\dfrac{4-7k}{5-8k}$$  $$\cos(\widehat{C})=\dfrac{11}{16}=\dfrac{m}{n}$$ olup $(m,n)=(11,16)=1$ olduğundan $$m+n=11+16=27$$ bulunur.

Lokman Gökçe:
Yanıt: $\boxed{A}$

Alternatif olarak şöyle bir çözüm de verebiliriz

Çözüm 2: $|BC|>|AC|$ olduğundan $\widehat{A} > \widehat{B}$ dir. Böylece $[AB]$ üzerinden bir $D$ noktasını $|DA|=|DB|=x$ olacak şekilde alabiliriz. $ACD$ üçgeninde $\cos\widehat{DAC} = \dfrac{7}{8}$ ve kosinüs teoreminden,
$$ (5-x)^2 = x^2 + 4^2 - 2\cdot 4\cdot \dfrac{7}{8} $$
olup $x=3$ bulunur. Tekrar kosinüs teoremi uygulanırsa, $\cos\widehat{C} = \dfrac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2\cdot 4\cdot 2} = \dfrac{11}{16} = \dfrac{m}{n}$ olup $m+n = 11+16 = 27$ bulunur.

Navigasyon

[0] Mesajlar