2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 09

[matematikolimpiyati]

$m(B)=m(C)=120^{\circ}$ olan $ABCD$ teğetler dörtgeninde $|AB|=6,\ |BC|=4$ ise $|AD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 14$

[diktendik]

Yanıt : $\boxed{E}$

$|DC|=x,|AD|=x+2$ olduğu açıktır. Ayrıca açıortayların noktadaş olduğunu biliyoruz. Bu nokta, $E$ noktası dörtgenin iç bölgesinde olmak üzere $EBC$ eşkenar üçgeninin $E$ köşesidir. $E$'den $AB$ ve $AD$'ye inen dikme ayakları sırasıyla $F$ ve $G$ olsun. $$|BF|=2\implies|AF|=4\implies |AG|=4\implies |GD|=x-2 \hspace{2mm}\text{ve}\hspace{2mm} |EF|=|EG|=2\sqrt3$$ olduğu kolayca görülebilir. $GDE$ üçgeninde pisagordan $$|ED|=\sqrt{x^2-4x+16}$$ gelir. $\angle{AED}=120^\circ$ olduğunu biliyoruz. (Neden¿) $AED$ üçgeninde kosinüs teoremi yazarsak $$ (\sqrt{28})^2+x^2-4x+16-2\cdot{\cos{120^\circ}}\cdot{\sqrt{x^2-4x+16}}\cdot{\sqrt{28}}=(x+2)^2\implies$$ $$8x-40=\sqrt{28(x^2-4x+16)}\implies 64(x^2-10x+25)=28(x^2-4x+16)\implies 3x^2-44x+96=0$$ elde edilir. Çarpanlara ayırarak $(3x-8)(x-12)=0$ elde edilir. $AED$ üçgeninden $x+2>\sqrt{28}$ ve $x>3$ olduğunu bildiğimizden $x=12$ ve $|AD|=x+2=14$ bulunur.

[geo]

Teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun.
Bu çember dörtgenin $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ kenarlarına sırasıyla $X$, $Y$, $Z$, $W$ noktalarında dokunsun.
$CD$ ile $AB$, $E$ de kesişsin.
$I$, $ADE$ üçgeninin iç merkezidir.
$BCE$ ve $BCI$ birer eşkenar üçgendir.
$IY\perp BC$ olduğu için $BY=CY=2$ dir. Bu durumda, $EZ=EX=6$, $AX=AW=4$ ve $IY=r=2\sqrt 3$.
$u^2r^2=u(u-a)(u-b)(u-c) \Rightarrow ur^2=(u-a)(u-b)(u-c)$ eşitliğini $\triangle ADE$ ye uyarlayalım:
$DW=x$ dersek $(6+4+x)(2\sqrt 3)^2= 6\cdot 4\cdot x \Longrightarrow 10+x=2x \Longrightarrow x=10$ ve $AD=14$ tür.

Not:
Soruyu aşağıdaki gibi klasik hale dönüştürebiliriz:

$ABCD$ teğetler dörtgeninde $\angle B =\angle D =120^\circ$ ise $\dfrac 1{BC}=\dfrac 1{AB}+\dfrac 1{CD}$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun.
Bu çember dörtgenin $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ kenarlarına sırasıyla $X$, $Y$, $Z$, $W$ noktalarında dokunsun.
$BCI$ bir eşkenar üçgendir. $IY=2\sqrt 3$ ve $BY=CY=2$ dir.
Bu durumda $BX=BY=2$ ve $AX=AW=4$ tür.
$\angle A+ \angle D =120^\circ$ olduğu için $\angle IAW=\alpha$ dersek $\angle IDW=60^\circ - \alpha$ olacaktır.
$\tan (60^\circ-\alpha)=\dfrac{\tan 60^\circ -\tan \alpha}{1+\tan 60^\circ \tan \alpha} =\dfrac{\sqrt 3 - \dfrac{2\sqrt 3}{4}}{1+\sqrt 3 \cdot \dfrac{2\sqrt 3}{4} }=\dfrac{2\sqrt 3}{10}$ olduğu için $DW=10$ ve $AD=14$ tür.

[geo]

$AB$ ile $CD$, $E$ de kesişsin.
İç teğet çemberin merkezı $I$ olsun.
$BI$ ve $CI$, $AD$ yi sırasıyla $X$ ve $Y$ kessin.
$BX\parallel ED$ ve $CY\parallel EA$ olduğu hemen görülebilir.
$AI$ açıortay olduğu için $IY=AY$ tir.
$Y$ den $BX$ e çizilen paralel $AE$ yi $Z$ de kessin.
$IY=x$ dersek, $AY=x$, $BZ=x$, $YZ=4$ ve $AZ=6-x$ olacaktır.
$AYZ$ üçgeninde Kosinüs Teoreminden $$x^2=4^2+(6-x)^2-2\cdot 4 \cdot (6-x)\cdot \dfrac 12 = 16+36+x^2-12x-24+4x=x^2-8x+28$$  $x=\dfrac 72$ elde edilir.
$$\dfrac{AY}{AD}=\dfrac{AZ}{AE} \Longrightarrow \dfrac{\dfrac 72}{AD}=\dfrac{6-\dfrac 72}{10}=\dfrac 14 \Longrightarrow AD=14$$