2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 05

[matematikolimpiyati]

Dört bileşenli $(0,0,0,0)$ dörtlüsünden$,$ her defasında sadece bir bileşenin $1$ br artması koşuluyla $(2,1,1,2)$ dörtlüsünü kaç farklı şekilde elde edebiliriz?

$\textbf{a)}\ 72  \qquad\textbf{b)}\ 90  \qquad\textbf{c)}\ 180  \qquad\textbf{d)}\ 120  \qquad\textbf{e)}\ 108$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$A$ ile birinci bileşenin, $B$ ile ikinci bileşenin, $C$ ile üçüncü bileşenin $D$ ile dördüncü bileşenin artışını gösterelim. Bu durumda $$A,A,B,C,D,D$$ permütasyonuna bakmalıyız. Örneğin $B,A,D,D,C,A$ ile $$(0,0,0,0)\to (0,1,0,0)\to (1,1,0,0)\to (1,1,0,1)$$ $$\to (1,1,0,2)\to (1,1,1,2)\to (2,1,1,2)$$ elde edilişini gösterebiliriz. Dolayısıyla tekrarlı permütasyondan $$\frac{6!}{2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 2!}=\frac{720}{4}=180$$ elde edilir.