Gönderen Konu: 2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07  (Okunma sayısı 1624 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07
« : Ekim 19, 2022, 07:20:30 ös »
$x,y,z$  pozitif reel sayıları için$,\ \sqrt[3]{xyz} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4z}$  toplamının alabileceği minimum değer kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3$

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Ynt: 2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 07
« Yanıtla #1 : Ekim 21, 2022, 12:58:10 öö »
Cevap: $\boxed B$

A.G.O eşitsizliğinden,
$$\begin{align*}
\sqrt[3]{xyz} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4z}\quad &=\quad \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} + \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} + \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4z}\\
&\ge\quad 6\sqrt[6]{ \left( \dfrac 1 3 \sqrt[3]{xyz} \right)^3 \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{2y} \cdot \dfrac{1}{4z} }\\
&=\quad 6\sqrt[6]{ \dfrac{xyz}{3^3} \cdot \dfrac{1}{2^3 xyz} }\\
&=\quad 6\sqrt[6]{ \dfrac{1}{6^3} }\\
&=\quad 6\dfrac{1}{\sqrt6}\\
&=\quad \boxed{\sqrt6}
\end{align*}$$ olduğundan, ifadenin değeri en az $\sqrt6$ olabilir.

Peki tam olarak $\sqrt6$ olabilir mi?
A.G.O eşitsizliğindeki eşitlik durumu için altı terim birbirine eşit olmalıdır. Toplamlarının $\sqrt6$ olmasını istediğimizden, her biri $\dfrac{1}{\sqrt6}$ olmalıdır. Bu da
$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{4z} = \dfrac{1}{\sqrt6}\\
\Longleftrightarrow \boxed{ (x,y,z) = \left( \sqrt6 , \dfrac{\sqrt6}{2} , \dfrac{\sqrt6}{4} \right) }$$ iken olur. Bu değerler için ifade gerçekten $\sqrt6$ değerini aldığından, cevap $\boxed{\sqrt6}$ dır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal