Gönderen Konu: ϕ(x) = 16  (Okunma sayısı 3846 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
ϕ(x) = 16
« : Ekim 14, 2022, 12:41:50 öö »
$n \geq 1$ olmak üzere; $\phi (n)$ ile $n$ ile aralarında asal pozitif tam sayıların sayısını gösterelim. Buna göre $\phi(x)=16$ eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

Kaynak: Elementary Number Theory, David M. Burton.
« Son Düzenleme: Ekim 14, 2022, 09:02:09 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
Ynt: ϕ(x) = 16
« Yanıtla #1 : Ekim 14, 2022, 01:58:36 ös »
$x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n}$  olsun ve  $\phi(x)=x \left(1-\dfrac{1}{p_1} \right) \left(1-\dfrac{1}{p_2} \right)... \left(1-\dfrac{1}{p_n} \right)$  teoremini kullanalım.

$\implies \dfrac{16}{(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)} = \dfrac{x}{p_1p_2...p_n}$  ifadesi bir tam sayıdır çünkü $p_i$'ler $x$'in asal bölenleridir.

Bu durumda $\dfrac{16}{(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)}$  da bir tam sayı olmalıdır.

$16$'nın pozitif tam bölenleri $1,2,4,8$ ve $16$ olduğundan ve aynı zamanda bu sayıların birer fazlası da asal olması gerektiğinden $p_i \in \{2,3,5,17\}$ yazabiliriz.

Durumları tek tek incelediğimizde $x$'in alabileceği değerlerin $17,32,34,40,48,60$  olmak üzere toplamda $6$ tane olduğunu görürüz.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.716
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: ϕ(x) = 16
« Yanıtla #2 : Ekim 14, 2022, 05:07:31 ös »
Buradaki videoda, dakika 9:20 de $\phi (n) = 16$ problemini çözmüştüm. Sonrasında, 2012 Tübitak lise 1. aşama sorusu olan $\phi (n) = 20$ probleminin de çözümü vardır. Buradan paylaşmış olayım :)
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: ϕ(x) = 16
« Yanıtla #3 : Ekim 14, 2022, 09:35:23 ös »
Evet benzerleri burada sorulmuş. Unutmuşum bunları. Hatta çözümleri ben yapmışım. Sayılar Teorisi kitabı karıştırırken görünce paylaşayım dedim.

Lise 1. Aşama 2012/10
Lise 1. Aşama 2013/10

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal